MÈTODO DE INTEGRACIÓN “EULER”. MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de.

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1 MÈTODO DE INTEGRACIÓN “EULER”

2 MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial. Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto

3 como una aproximación al valor deseado Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada: Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a y por lo tanto estará dado como De esta forma, tenemos la siguiente aproximación: De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

4 Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima o menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia. en n partes iguales(procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a En una gráfica, tenemos lo siguiente: Ahora bien, sabemos que: Para obtener papel de sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: únicamente hay que pensar que ahora el lo toma el punto y por lo tanto, si De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.

5 DESCRIPCIÒN surf( X, Y, Z ) crea un gráfico de superficie tridimensional. La función traza los valores en la matriz Z como alturas sobre una cuadrícula en el plano x - y definido por X e Y La función también usa Z para los datos de color, por lo que el color es proporcional a la altura. surf( X, Y, Z, C ) además especifica el color de la superficie. surf( Z ) crea una superficie y utiliza los índices de columna y fila de los elementos en Z como las coordenadas x e y, respectivamente. surf( Z, C ) además especifica el color de la superficie. surf( ax, ___ ) traza en los ejes especificados por ax lugar de los ejes actuales. Especifique los ejes como primer argumento de entrada. surf( ___, Name,Value ) especifica las propiedades de la superficie usando uno o más argumentos de pares nombre-valor. Por ejemplo, 'FaceAlpha',0.5 crea una superficie semitransparente. Especifique pares nombre-valor después de todos los otros argumentos de entrada. s = surf( ___ ) devuelve el objeto de superficie del gráfico. Use s para modificar la superficie después de crearla. Para una lista, vea Propiedades de la superficie.

6 ARGUMENTOS DE ENTRADA Coordenadas X - x (matriz | vector) Las coordenadas x, especificadas como una matriz del mismo tamaño que Z o como un vector con longitud n, donde [m,n] = size(Z). Para crear una matriz para dominios arbitrarios, use la función meshgrid. La propiedad XData del objeto de superficie almacena los valores de x. Ejemplo: [X,Y] = meshgrid(-5:0.5:5) Tipos de datos: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | categorical | datetime | duration

7 ARGUMENTOS DE ENTRADA Y - coordenadas y (matriz | vector) Coordenadas y, especificadas como una matriz del mismo tamaño que Z o como un vector con longitud m, donde [m,n] = size(Z). Para crear una matriz para dominios arbitrarios, use la función meshgrid. La propiedad YData del objeto de superficie almacena los valores y. Ejemplo: [X,Y] = meshgrid(-5:0.5:5) Tipos de datos: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | categorical | datetime | duration

8 ARGUMENTOS DE ENTRADA Z - coordenadas z (matriz) Coordenadas z, especificadas como una matriz. Si no especifica los colores, Z también establece los colores de la superficie. La propiedad ZData del objeto de superficie almacena los valores z. Ejemplo: Z = [1 2 3; 4 5 6] Z = [1 2 3; 4 5 6] Ejemplo: Z = sin(x) + cos(y) Tipos de datos: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | categorical | datetime | duration

9 ARGUMENTOS DE ENTRADA C - Color para cada vértice (matriz | m -by- n -by- 3 matriz de tripletes RGB) Color para cada vértice, especificado como una matriz del mismo tamaño que Z o como una matriz m -by- n -by- 3 de tripletes RGB, donde Z es m -by- n. Si desea utilizar colores de mapa de colores, especifique C como matriz. La propiedad CDataMapping del objeto de superficie controla cómo los valores en C asignan a los colores en el mapa de colores. Si desea utilizar colores verdaderos, especifique C como una matriz de tripletes RGB. La propiedad CData del objeto de superficie almacena los datos de color. Para un control adicional sobre el color de la superficie, use las propiedades FaceColor y EdgeColor.

10 ARGUMENTOS DE ENTRADA ax - ejes en los que trazar (objeto de ejes) Ejes en los que trazar, especificados como un objeto de ejes. Si no especifica los ejes, surf gráficos en los ejes actuales.

11 ARGUMENTOS DE PAREJA NOMBRE-VALOR Especifique pares opcionales separados por comas de Name,Value Argumentos de Name,Value. Name es el nombre del argumento y Value es el valor correspondiente. Name debe aparecer entre comillas. Puede especificar varios argumentos de pares de nombre y valor en cualquier orden como Name1,Value1,...,NameN,ValueN. Ejemplo: surf(X,Y,Z,'FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','none') crea una superficie semitransparente sin bordes dibujados.

12 PROPIEDADES 'EdgeColor' - Color de línea de borde [0 0 0] (predeterminado) | 'none' | 'flat' | 'interp' | Triplete RGB | 'r' | 'g' | 'b' |... 'LineStyle' - Estilo de línea '-' (predeterminado) | '--' | ':' | '-.' | 'none' 'FaceColor' - Color de la cara 'flat' (predeterminado) | 'interp' | 'none' | 'texturemap' | Triplete RGB | 'r' | 'g' | 'b' |... 'FaceAlpha' - transparencia de la cara 1 (predeterminado) | escalar en rango [0,1] | 'flat' | 'interp' | 'texturemap’ 'FaceLighting' - Efecto de los objetos de luz en las caras 'flat' (predeterminado) | 'gouraud' | 'none' 'FaceLighting' - Efecto de los objetos de luz en las caras 'flat' (predeterminado) | 'gouraud' | 'none'