Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VII. Ecuaciones no homogéneas.

U-4.A-3. Cap. VII. Ecuaciones no homogéneas. La ecuación general lineal no homogénea de orden n puede expresarse en la forma: donde P1(x), P2(x), …, Pn(x), y R(x) son continuas en el intervalo de interés y su ecuación homogénea asociada se obtiene haciendo R(x) = 0. Para resolver una ecuación no homogénea se obtiene, en primer lugar, la solución de su ecuación homogénea asociada, llamada solución complementaria, yc:

U-4.A-3. Cap. VII. Ecuaciones no homogéneas. donde y1, y2, . . . , yn constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial. En contraste, una función que no tenga ninguna constante arbitraria y satisfaga la ecuación no homogénea se conoce como solución particular, yp. El siguiente paso consiste en modificar la solución complementaria de manera tal que satisfaga la ecuación no homogénea dada; lo que se hace de acuerdo con el siguiente teorema:

Si yp es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea: U-4.A-3. Cap. VII. Ecuaciones no homogéneas. Si yp es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea: donde P1(x) , P2(x) , … , Pn(x) y R(x) son continuas en un intervalo x1 < x < x2 y yc es la solución de su ecuación homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación no homogénea en ese mismo intervalo es: donde y1, y2, . . . , yn constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y C1, C2, . . . , Cn son constantes arbitrarias.

U-4.A-3. Cap. VII. Ecuaciones no homogéneas. Por tanto, una vez que se dispone de la solución de la ecuación homogénea asociada yc, se requiere determinar una solución particular yp que satisfaga la ecuación no homogénea para construir su solución general. Frecuentemente el término no homogéneo R(x) incluye varios términos y, en tales casos, es más conveniente encontrar la solución particular que corresponda a cada uno de los términos no homogéneos y luego sumarlas. En otras palabras, se requiere aplicar el principio de superposición, lo que se expresa en el siguiente teorema.

Si yp,1 es una solución particular de: U-4.A-3. Cap. VII. Ecuaciones no homogéneas. Si yp,1 es una solución particular de: y yp,2 es una solución particular de: entonces yp,1 + yp,2 es una solución particular de: