EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentación del tema: "EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR"— Transcripción de la presentación:

1 EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
FORMA GENERAL

2 OBSERVACIÓN Cuando g(x) = 0, para todo x de cierto intervalo I, la ED LINEAL se llama HOMOGÉNEA.

3 EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEA
FORMA GENERAL

4 son constantes, la EDL se llama HOMOGÉNEA con coeficientes constantes.
OBSERVACIÓN Cuando los coeficientes ai(x) son constantes, la EDL se llama HOMOGÉNEA con coeficientes constantes.

5 EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA GENERAL I

6 EJEMPLOS

7 Teorema: Si y1, y2, …., yn son n soluciones particulares y linealmente independientes de la ecuación (I) y C1, C2, … ,Cn son n constantes arbitrarias, entonces: y = C1y1+ C2y2+ C3y3+ … + Cnyn Es la Solución general de la ecuación (I).

8 Al conjunto y1, y2, …., yn de n soluciones particulares y linealmente independientes de la ecuación (II), se denominan Sistema fundamental de soluciones.

9 Solución general de la EDO de 2º orden.
(II)

10 Ya vimos que la ecuación y’ + py = 0, admite una solución del tipo y = ekx donde k es una constante, por esa razón busquemos soluciones particulares de (II) de la misma forma.

11 Solución particular de (II): , entonces y , sustituyendo en (II) se obtiene: y como 
k2 + pk + q = 0 (III). Si k satisface a la ecuación (III), es una solución particular de (II). La ecuación k2 + pk + q = 0, recibe el nombre de, Ecuación Característica asociada a la EDO (II).

12 En el caso que nos ocupa, la ecuación característica, es una ecuación de 2do. Grado y como sabemos se pueden presentar 3 casos.

13 Caso I: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces reales diferentes, k1 ≠ k2
Caso I: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces reales diferentes, k1 ≠ k2. . Entonces, Son soluciones particulares LI de II y constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II), de donde la solución general buscada es:

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15 Caso II: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces complejas conjugadas diferentes,
k1 = α + βi y k2 = α - βi

16 Entonces constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II).Utilizando las fórmulas de Euler: podemos escribir de manera usual la solución general en la forma .

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18 Caso III: k2 + pk + q = 0 2 raíces reales iguales, k1 = k2 e tomando
constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II) (¡Pruébelo!), de donde la solución general buscada es:

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20 Ejemplos: Resolver las siguientes EDL homogéneas: a. y´´ + 3y´+ 4y = 0 b. y´´+ 2y´+y = 0 c.y´´ + y´+y = 0

21 WRONSKIANO de “n” FUNCIONES DERIVABLES.
En honor al famoso matemático polaco Nicolás Wronsky ( ) se define para “n” funciones derivables el concepto de wronskiano de gran utilidad en las ED lineales.

22 Definición Sean y1,y2,.....,yn un conjunto de n funciones derivables hasta el orden n-1. Entonces se define como WRONSKIANO de dichas funciones y se denota por: W(y1,y2,.....,yn) al determinante funcional:

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24 Teorema: 1. Si W(y1,y2,.....,yn) ≠ 0 en algun intervalo I entonces el sistema de funciones y1,y2,.....,yn es L.I en I. 2. Si el sistema y1,y2,.....,yn es L.D. entonces W(y1,y2,.....,yn) = 0 en I.

25 Tratamiento de EDO de orden superior a 2. Ejemplo
Obtener la solución general de

26 Ecuación característica
m3 – 3m + 2=0

27 Ecuación característica
m3 – 3m + 2=0 Se descompone en factores en la forma (m-1)2(m+2)=0

28 Ecuación característica
(m-1)2(m+2)=0 Se obtienen las raíces m1= 1 de multiplicidad 2 m2= -2 de multiplicidad 1

29 m1= 1 de multiplicidad 2 m2= -2 de multiplicidad 1 Aportan las soluciones particulares LI

30 Por lo que la solución general es

31 TAREA Resolver las EDL HOMOGÉNEAS:

32 TAREA Resolver las EDL HOMOGÉNEAS: