Resolució de problemes algebraics 2n ESO CDE Avançat

Explicació del mètode: Es tracta de resoldre problemes mitjançant equacions. Com que passar d’un problema a una expressió amb nombres i x pot ser complex, anem a emprar un mètode per a fer-ho més senzill.

Exemple: L’herència Tres germans es reparteixen 1560€ que han rebut en herència. El fill major s’endú el doble que el mitjà El fill mitjà s’endú quatre voltes més que el menut. Quina quantitat s’enduran cadascun d’ells?

Exemple: L’herència En tots els problemes ens farem la següent pregunta: Si la solució fóra un nombre tal es complirien les condicions del problema? En el cas de l’herència podem pensar: si l’herència del menut fóra 100€ es compliria que tots reben les quantitats que toca i el total és 1560€?

Exemple: L’herència Si al menut li assignem 100€ voldrà dir que al mitjà li n’haurem d’assignar 100*4=400€ I si al mitjà li n’assignem 400€ al major li n’haurem d’assignar 400*2=800€ Com que la quantitat repartida 100+400+800=1300 és diferent a l’herència, 1560€, aquest 100 que hem agafat no és el valor vàlid per a la porció d’herència del germà menut.

Exemple: L’herència Què passaria si en compte de ser 100 l’herència del germà menut és 200€? Llavors si al menut li assignem 200€ voldrà dir que al mitjà li n’haurem d’assignar 200*4=800€ I si al mitjà li n’assignem 800€ al major li n’haurem d’assignar 800*2=1600€ Com que la quantitat repartida 200+800+1600=2600 torna a ser diferent a l’herència, 1560€, aquest 200 que hem agafat tampoc no és el valor vàlid.

Exemple: L’herència Arribats a este punt, tota la feina que hem fet ens va a servir per a poder trobar el valor vàlid del problema. Quan hem agafat 100 com a solució, hem arribat a la conclusió que 100+400+800=1300 ≠ 1560 I quan hem agafat 200: 200+800+1600=2600 ≠ 1560

Exemple: L’herència Aquestos nombres han eixit de 100+4*100+2*(4*100) =1300 ≠ 1560 200+4*100+2*(4*200) =2600 ≠ 1560 Podriem posar qualsevol quantitat en compte de 100 o 200? Per suposat! 150+4*100+2*(4*100) =1950 ≠ 1560 Inclús podriem anar tantejant, però i si en compte d’un nombre posem alguna cosa que poguera ser qualsevol nombre?

Exemple: L’herència Inclús podriem anar tantejant, però i si en compte d’un nombre posem alguna cosa que poguera ser qualsevol nombre? Per exemple, podriem posar x a aquest valor que pot anar variant? x+4*x+2*(4*x) I aquesta expressió ha de donar 1560 veritat? Així que x+4*x+2*(4*x)=1560

Exemple: L’herència x=1560/13=120 x+4*x+2*(4*x)=1560 Aquesta expressió és la traducció del problema a llenguatge algebraic i la seua resolució la sabeu fer molt bé. x+4x+8x=1560 13x=1560 x=1560/13=120

Exemple: L’herència Com que x=120 x+4*x+2*(4*x)=1560 120+4*120+2*(4*120)=1560 120+480+2*480=1560 120+480+960=1560 1560=1560

Exemple 2: L’edat de Joaquim Fa 15 anys Joaquim tenia dos terços de l’edat que té ara. Quina és la seua edat? Proveu a fer aquest exercici de la manera que vos acabe d’explicar: Donant un valor a l’edat de Joaquim que siga posible Donant un segon valor a l’edat de Joaquim Intentant substituir aquestos valors per x Resolent l’equació que en quede.

Exemple 2: L’edat de Joaquim Fa 15 anys Joaquim tenia dos terços de l’edat que té ara. Quina és la seua edat? Anem a fer el mateix procés que en el cas anterior. Imaginem que Joaquim hui té 25 anys. Si té 25 anys, fa 15 anys en tenia 25-15=10 anys Però per un altre costat se’ns diu que fa 15 anys tenia 2/3 de la seua edat actual: 25*2/3=50/3=aproximadament 16,7 anys

Exemple 2: L’edat de Joaquim Com que 10 anys no és el mateix que 16,7 anys, això vol dir que 25 no és en realitat l’edat actual de Joaquim. Anem a fer el mateix procés imaginant ara que Joaquim hui té 60 anys. Si té 60 anys, fa 15 anys en tenia 60-15=45 anys Però per un altre costat se’ns diu que fa 15 anys tenia 2/3 de la seua edat actual: 60*2/3=120/3=40 anys, llavors aquesta tampoc és la resposta.

Exemple 2: L’edat de Joaquim Quins càlculs hem fet en la primera hipòtesi? 25-15=25*2/3 I en la segona hipòtesi? 60-15=60*2/3 Si canviem aquestes edats per x obtenim l’equació del problema: x -15 = x * 2/3

Exemple 2: L’edat de Joaquim I resolem com ja sabem fer x -15 = x * 2/3 3(x-15)=2x 3x-45=2x 3x-2x=45 x=45