I. Mesura i incertesa a) Introducció Les ciències són “...sistemes de coneixement el·laborats per medi de la investigació sobre els diferents camps d’objectes.” Objectes d’estudi  realitat definida Electromagnetisme: càrregues elèctriques Biologia: éssers vius etc. Investigació  Observació fenòmens i relacions Elaboració i test d’explicacions Aplicació i predicció Sistemàtica i reproduïble Quantificació i matematització Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Quantificar  Mesurar  Comparar de manera quantitativa una qualitat determinada de l’objecte d’estudi amb un patró escollit de la mateixa classe Requereix per tant: La definició del patró La comparació patró - objecte La quantificació Metrologia A V Fluke F150 HP7325 R AA nova R = 10 kW, a T=22ºC i 75% d’humitat, mesurant V quan I= 1 A i fent R(W) = V Per a sistematitzar, cal repetir ens cal saber quin patró hem usat, com hem feta la comparació, i quin resultat hem trobat. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Però mai repetim en exactament les mateixes condicions... En repetir la mesura, el resultat VARIA D = 11.2 cm D = 11.1 cm D = 10.9 cm D = 11.3 cm Ens hem equivocat? És important la variació? Quin és “el resultat correcte”? Existeix? Com podem determinar-lo? Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals O no ho fem sobre objectes idèntics... ... però volem caracteritzar AL CONJUNT una característica comú a tots els individus Proves destructives diferents objectes “nominalment iguals” Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Incertesa ( error de mesura) deguda a les variacions de condicions en fer les diferents mesures per qualsevol factor fora de control. De vegades, les incerteses no tenen gaire relevància: La mànega d’una americana pot ser 0.5 cm més llarga o curta sense greus conseqüències De Ciutat a la UIB hi ha 7’5 km... Però de vegades, sí: Si D < 10.8 cm, guanyes 1.000.000 Pts., però si D > 11.1 cm, el perds Comparar mesures fetes per diferents mètodes, persones, etc. per a determinar si hi ha equivocacions, o quin és el valor correcte Contrastar i/o falsejar teories i hipòtesis Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Clàssicament, a = 0.9” Einstein, a = 1.8” a (“) 0.5 1.2 2.2 1.6 2.5 1.4 0.8 0.7 1.3 1.1 0.8 1.0 0.6 0.8 1.7 2.1 2.0 1.8 1.5 1.6 2.0 Filera 1: inconclusives Filera 2: Desacord amb N’Einstein (?) Filera 3: Desacord amb clàssica (?) Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals b) Mesures directes i indirectes Cada qualitat de l’objecte que volem estudiar (mesurar) s’anomena VARIABLE Hi ha variables de diferents castes: De tipus: mascle/femella, ros/bru, estel/planeta... Discretes: nombre, data ... Contínues: longitud, temps, temperatura... Direm que una mesura és directa quan existeixi un instrument que ens faci directament la comparació amb un patró Temperatura: termòmetre, termoparell... Distància: regle, RADAR, telèmetre... Temps: cronòmetre, calendari ... Corrent / Voltatge: amperímetre/voltímetre etc. Indirecta: en cas contrari  combinar diferents mesures directes segons una definició de la variable a mesurar Superfície / Volum d’un cos Massa i tamany estelar Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals c) Els instruments i la mesura directa Per a fer una mesura, els instruments tenen una escala graduada i especifiquen el patró que s’usa. “Només” cal llegir el valor numèric de la comparació 2 4 6 Volt 1 2 3 4 5 6 7 cm 35.24 mA 100 mA 1 A 10 mA Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

El màxim valor que podem mesurar amb un aparell s’anomena fons d’escala de l’instrument. La mínima divisió de l’aparell s’anomena resolució de l’instrument. 35.24 mA 100 mA 1 A 10 mA Fons d’escala: Resolució: 0.01 mA Lectura Estructura d’un instrument digital Amb un instrument digital, la resolució representa la mínima incertesa d’una mesura individual: qualsevol valor del corrent entre 35.240 mA i 35.2499 mA es llegeix com 35.24 mA Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Els instruments analògics, però, permeten afinar una mica més... 2 4 6 Volt Fons d’escala: 6V Resolució: 1V Podem dir sense problemes que la lectura és: entre 4 V i 5 V entre 4.25 V i 4.75 V però no podem anar més enllà ... Interpolació V = 4.50 0.25 V V Є [4.25, 4.75] V Incertesa instrumental  resolució de l’aparell Podem reduir-la usant instruments més fins, però... Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

En realitat, un poc més complicat. i) L’instrument “amaga” un procés de construcció unes especificacions d’operació que afecten el resultat de la mesura. A més, l’instrument també envelleix... (calibratge) Fons d’escala Especificacions tècniques del multímetre de taula HP 3458A, de nou dígits de lectura i fons d’escala de 100mV a 1000V Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Exemple: Amb el voltímetre especificat al quadre anterior, ben calibrat, fem una lectura de voltatge amb el fons d’escala situat a 100 mV. Suposant que tenim una lectura de V = 76.85783 mV, quina és la incertesa instrumental? ppm = parts per milió  incertesa instrumental = 9*10-6*76.85783 mV+ 3*10-6*100 mV = 9.9172*10-4 mV Ressolució: 10 nV Les incerteses es donen sempre amb només una o dues xifres significatives (veurem per què al llarg del curs). Es donen amb dues xifres significatives només si la primera és 1 o 2, i amb una en els altres casos  Cal arrodonir-la: 9.9172*10-4 mV  1.0*10-3mV Però no té cap sentit que el valor que donem tingui més xifres significatives que la incertesa...  També cal arrodonir la lectura V = ( 76.8578  0.0010 ) mV Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Lectura Incertesa Resultat final 10.273 A 0.162 A 10.27 0.16 A 312.28 m 0.78 m 312.3 0.8 m 4.931 s 0.047 s 4.93  0.05 s 1.4749 Kg 0.0337 Kg 1.48  0.04 Kg 6.6247 nC 0.0424 nC 6.62  0.04 nC ii) Hi ha vegades en que en realitat fem una doble lectura sense adonar-nos-ne: cronòmetre digital Cal pitjar per a iniciar la mesura i pitjar de nou per a acabar-la. Habitualment, la nostra capacitat de resposta (veure/sentir i donar l’ordre de pitjar al dit) és una font d’incertesa molt més gran que la lectura del cronòmetre. No podem fer-ne cap estimació sense fer mesures repetides. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Les variacions entre mesures depenen de l’instrument usat per a fer la mesura i del mateix procediment de mesura 20 15 10 5 -5 Sensor enregistrador de Temperatura Si no hi ha canvis ambientals, el termòmetre sempre mesura entre 5ºC i 5.1ºC. En canvi, el sensor mesura ràpides variacions. Incertesa instrumental: 0.001ºC Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Varien ràpidament i no tenim mai una lectura constant a les tres darreres xifres 10 V 15.78694 1 V 100 V 100 mV 1000 V mV La incertesa instrumental és 9*10-6*15.787 mV+ 3*10-6*100 mV = 4.42083*10-4 mV  0.0004 mV que és menor o de l’ordre de les variacions de lectura. Si només variàs la darrera xifra, la incertesa instrumental seria molt major (un ordre de magnitud), i podríem oblidar les variacions de lectura. Però ara la incertesa és dominada per les variacions de lectura, és a dir, per l’error estadístic Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals iii) Una altra font d’error molt important, però difícil de tractar, és deguda a l’ús d’instruments descalibrats o a un incorrecte disseny del procés experimental per a fer la mesura. Cronòmetre que adelanta o retrassa; metre allargat o escurçat, etc. Paral·làxia, col·locació del zero, etc. 2 4 6 Volt OK Malament! Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Voltímetre i amperímetre analògics Es basen en el galvanòmetre, que consisteix en una agulla fixada a un pèndol de torsió. L’agulla té una espira a la base, i es troba entre els dos pols d’un imant. Quan per l’espira no circula corrent, l’espira té el punt d’equilibri a la vertical, però en circular-n’hi, el punt d’equilibri es desplaça proporcionalment al corrent. Cal notar que l’espira té una petita resistència interna, r. A G r V G r R Idealment, r = 0 i R =  Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals V R E A Només tenim resultats correctes si RV >> R >> rA, altrament tenim errors sistemàtics Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

i procediment experimental correcte Error aleatori Incertesa instrumental Instrument cal.librat i procediment experimental correcte Error aleatori Variació entre mesures Incertesa instrumental Instrument descal.librat o procediment experimental incorrecte Error sistemàtic Variació entre mesures Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Quan l’error instrumental és petit, podem tenir: Error aleatori: petit Error sistemàtic: petit Error aleatori: petit Error sistemàtic: gran Error aleatori: gran Error sistemàtic: petit Error aleatori: gran Error sistemàtic: gran Error instrumental + aleatori petit: mesura precisa Error sistemàtic petit: mesura exacta Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Alerta! Quan mesurem ex novo, no sabem quin és el resultat correcte, i no podem estimar l’error sistemàtic Error aleatori: petit Error sistemàtic: ??? Error aleatori: petit Error sistemàtic: ??? Error aleatori: gran Error sistemàtic: ??? Error aleatori: gran Error sistemàtic: ??? Diferència entre mesures fetes amb diferents instruments i/o procediments: discrèpància Significativa? D’on vé (errors sitemàtics)? Com combinar-les per a arribar al valor acceptat? Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Els errors sistemàtics són extremadament perillosos perquè: a) Són difícils de detectar: Diferents instruments Diferents procediments b) Són difícils de corregir c) Són difícils d’estimar. Al llarg del curs sempre suposarem (excepte que es digui el contrari) que els resultats NO tenen error sistemàtic, i desenvoluparem eines per a tractar i estimar els errors aleatòris  incertesa instrumental molt menor que variació entre mesures Tractament probabilístic dels errors aleatoris Variació estadística sobre una mostra d’elements “iguals” Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals