Tema 2. DIVISIBILITAT

Múltiples Diem que un nombre a és múltiple del nombre b quan a es pot aconseguir multiplicant b per un altre nombre que no tingui decimals. 30 = 6 · 5 30 és múltiple de 6 30 és múltiple de 5 42 = 6 · 7 42 és múltiple de 6 42 és múltiple de 7

Un nombre té infinits múltiples Per calcular múltiples d’un nombre a, només hem d’anar multiplicant-lo per altres nombres. El resultat forma el llistat de múltiples de a. 4 · 6 4 · 3 4 · 2 4 · 5 4 · 4 4 · 1 Múltiples de 4: 4 8 12 16 20 24 ... Un nombre té infinits múltiples

Divisors Un nombre a és divisor d’un altre nombre b si la divisió b : a és exacta, és a dir, si el quocient no té cap xifra decimal o si el residu de la divisió sense decimals és 0. 24 : 8 = 3 Com que la divisió és exacta, diem que 8 és divisor de 24 24 : 5 = 4’8 Com que la divisió no és exacta, 5 no és divisor de 24 Quan a és divisor de b, podem dir també que b és divisible per a.

...ja que si fas la divisió entre el quocient també dóna exacta Fixa’t en que quan una divisió és exacta, no només trobes un divisor... 60 : 5 = 12 Divisió exacta 5 és divisor de 60 ...ja que si fas la divisió entre el quocient també dóna exacta 60 : 12 = 5 Divisió exacta 12 és divisor de 60 Per tant , en realitat has trobat dos divisors 60 : 5 = 12 Divisió exacta 5 i 12 són divisors de 60

La propietat anterior es pot fer servir per trobar tots els divisors d’un nombre a. El sistema consisteix en dividir a entre 1, entre 2, etc... Quan la divisió és exacta, apuntem com a divisors d’a el divisor i el quocient. Divisors de 24 = { 1, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } No afegim cap 24 : 1 = 24 24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6 24 : 5 = 4’8 Exacta Exacta Exacta Exacta No Exacta Pots parar quan arribes a dividir entre un nombre superior a En l’exemple, com que No hauria calgut dividir entre 5.

Relació entre múltiples i divisors Ser divisor i múltiple d’un nombre són propietats inverses, és a dir, si un nombre a és múltiple de b, llavors b és divisor d’a i viceversa 30 és múltiple de 6 30 = 6 · 5 6 és divisor de 30 La divisió és exacta 30 : 6 = 5

No et confonguis! Soleu tenir molts problemes per distingir quin nombre és el múltiple i quin és el divisor de l’altre. Per no fer-ho, recordeu un petit truquet: el múltiple és més gran; el divisor és més petit.

Nombres primers i compostos Tots els nombres superiors a 1 tenen almenys dos divisors: l’1 i ell mateix. Quan no té cap altre divisor, diem que és un nombre primer. En cas contrari, parlem de nombre compost. N’hi ha un nombre infinit de nombres primers, però cal conèixer la llista dels primers nombres primers: 2 3 5 7 11 13 17 19 ... I no, el nombre 1 no és primer perquè només té un divisor: ell mateix

Descomposició en factors primers Tots els nombres compostos es poden escriure com a producte de nombres primers. 90 = 2 · 3 · 3 · 5 252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 Per estalviar espai, si n’hi ha factors primers repetits s’escriuen en forma de potència 90 = 2 · 32· 5 252 = 22 ·32 · 7 1320 = 23· 3 · 5 · 11 Aquesta expressió d’un nombre com a producte de potències de nombres primers es coneix com la descomposició factorial del nombre.

Si multipliquem els nombres primers de l’esquerra, Per calcular la descomposició factorial d’un nombre a, anem dividint a entre els nombres primers, successivament. Si la divisió és exacta, apuntem el nombre primer i continuem fent el mateix amb el resultat fins que obtinguem com a resultat l’1. Evidentment, hem de conèixer quins són els nombre primers per poder portar a terme aquest procés. Si multipliquem els nombres primers de l’esquerra, el resultat serà el nombre que volíem descomposar. 252 2 Escrivim el resultat de la divisió sota el nombre Comencem provant amb el nombre primer més petit, el 2 126 2 Repetim el procés amb el resultat 63 3 Com que aquest nombre no es pot dividir entre 2, passem al següent nombre primer, el 3 252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 21 3 Anem repetint successivament amb tots els nombres primers 7 7 Agrupem en forma de potències i ja tenim la descomposició factorial del nombre. 1 Parem quan arribem a l’1 252 = 22 · 32 · 7

Criteris de divisibilitat Per poder fer les descomposicions factorials més ràpidament, convé conèixer els criteris de divisibilitat més habituals. Els criteris de divisibilitat són una sèrie de normes i consells que ens permeten detectar gairebé a primera si un nombre és divisible per un altre. Anem a recordar els criteris de divisibilitat més fàcils i habituals.

(si no t’ho creus, comprova-ho; 15.538 : 2 = 7.769) Divisibilitat per 2 Un nombre és divisible per 2 quan acaba en 0, 2, 4, 6 o 8. Així de fàcil. 15.538 Acaba en 8 És divisible per 2 (si no t’ho creus, comprova-ho; 15.538 : 2 = 7.769) 60.843 Acaba en 3 No és divisible per 2

Divisibilitat per 5 El criteri de divisibilitat del 5 és tan fàcil com l’anterior: un nombre es pot dividir per 5 si acaba en 0 o 5. Si acaba en una altra xifra, no és divisible per 5. 45.675 Acaba en 5 És divisible per 5 678.120 Acaba en 0 És divisible per 5 2.134 No acaba ni en 0 ni en 5 No és divisible per 5

Divisibilitat per 3 Per saber si un nombre és divisible per 3 hem de sumar totes les seves xifres. Si el resultat és múltiple de 3, el nombre inicial és divisible per 3 237 2 + 3 + 7 = 12 12 és múltiple de 3 237 és divisible per 3 (En efecte, 237 : 3 = 79, divisió exacta) 401 4 + 0 + 1 = 5 5 no és múltiple de 3 401 : 3 no és exacta Si al sumar dóna un nombre molt gran, pots tornar a fer servir el criteri amb el resultat. 95.688 9 + 5 + 6 + 8 + 8 = 36 3 + 6 = 9 9 és múltiple de 3 Divisible!

Altres criteris de divisibilitat Divisibilitat per 4: Només cal comprovar si el nombre format per les dues últimes xifres és múltiple de 4. 256.732 32 : 4 dóna exacte 256.732 és divisible per 4 Divisibilitat per 9: Sumem les xifres i comprovem que el resultat és múltiple de 9 4 + 5 + 6 + 2 + 1 = 18 18 és múltiple de 9 45.621 45.621 és divisible per 9 Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per 10 només quan acaba en 0.

Divisors comuns Els divisors comuns de dos (o més) nombres son aquells nombres que són divisors de tots dos alhora. Divisors de 24 = {1, 2, 3 , 4, 6, 8, 12, 24} Divisors de 24 = {1, 2, 3 , 4, 6, 8, 12, 24} Divisors de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Divisors de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Divisors comuns de 24 i 30 = { 1 , 2 , 3 , 6 } L’1 és sempre un divisor comú de qualsevol conjunt de nombres, ja que és divisor de tots. El més importants dels divisors comuns és el més alt, anomenat Màxim Comú Divisor (M.c.d). M.c.d. (24, 30) = 6

Primer, hem de fer les descomposicions factorials de tots els nombres. Calcular el M.c.d. de dos (o més) nombres com ho hem fet abans pot ser molt llarg, especialment si els nombres són grans. Per això, ho farem amb un altre mètode, més directe. Calculem el M.c.d. de 120, 180 i 252 120 = 23 · 3 · 5 Calculem el M.c.d. agafant la potència d’exponent més baix de cadascun d’aquests factors i multiplicant-les. Seleccionem els nombres primers que es repeteixen en totes les descomposicions 180 = 22 · 32 · 5 Primer, hem de fer les descomposicions factorials de tots els nombres. 252 = 22 · 32 ·7 Es repeteixen el 2 i el 3 M.c.d. (120, 180, 252) = 22 · 3 = 12

Múltiples comuns Els múltiples comuns de dos (o més nombres) són aquells nombres que són múltiples de tots ell al mateix temps. Múltiples de 20 = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ...} Múltiples de 20 = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ...} Múltiples de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 144, ...} Múltiples de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 144, ...} Múltiples comuns = { 60, 120, 180, 240, ...} Com que cada nombre té infinits múltiples, hem de fer molts o fer servir la imaginació per trobar uns quants múltiples comuns. De tots els múltiples comuns, el més important és el més petit, al que anomenem el Mínim Comú Múltiple (m.c.m.). m.c.m. (12, 20) = 60

Primer, hem de fer les descomposicions factorials de tots els nombres. Calcular el m.c.m. de dos (o més) nombres amb la llista de múltiples pot ser molt llarg, així que també ho calcularem amb un mètode basat en la descomposició factorial. Calculem el m.c.m. de 12, 18 i 40 Primer, hem de fer les descomposicions factorials de tots els nombres. 12 = 22 · 3 Calculem el m.c.m. agafant la potència d’exponent més alt de cadascun dels factors primers que apareixen, estiguin repetits o no, i multiplicant-les. 18 = 2 · 32 40 = 23 · 5 m.c.d. (12, 18, 40) = 23 · 32 · 5 = 360