Exercicis de probabilitat i estadística 2n. Batx. CCSS PAS A PAS José Fernando Carrasco Pecino cangur11@yahoo.es

RECOMANACIONS Aquest conjunt de problemes està adreçat a l’alumnat de segon de batxillerat de ciències socials. Si no tens prou coneixements, ves copiant, intentant entendre el perquè de cada pas. Desprès intenta fer-los tu mateix Si tens una mica de pràctica, comença a fer-los pel teu compte i ves amb compte amb els petits detalls

PROBABILITAT CONDICIONADA, TOTAL I TEOREMA DE BAYES

PROBLEMA 1 En cert curs d'un centre d'ensenyament el 62,5 % dels alumnes van aprovar Matemàtiques. D'altra banda, entre quins van aprovar Matemàtiques, el 80 % va aprovar també Física. Se sap igualment que només el 33,3 % de quins no van aprovar Matemàtiques van aprovar Física. a) Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora? b) Quin va ser el percentatge d'aprovats en l'assignatura de Física? c) Si un estudiant no va aprovar Física, quina probabilitat hi ha que aprovés Matemàtiques?. Solució

1r. Definim els esdeveniments Enunciat M: Aprovar matemàtiques F: Aprovar física : Suspendre matemàtiques : Suspendre física 1r. Definim els esdeveniments 2n. Diagrama d’arbre a) F 0,8 => El 50% aproven les dues assignatures Estudiant M 0,625 0,375 b) 0,2 F 0,333 => El 62,5% aproven física c) 0,667

PROBLEMA 2 Es té tres caixes iguals. La primera conté 3 bolles blanques i 4 de negres; la segona conté 5 bolles negres i la tercera, 4 de blanques i 3 de negres. a)   Si es tria una caixa a l'atzar i després s'extreu una bolla, quina és la probabilitat que la bolla extreta sigui negra?. b)     Si s'extreu una bolla negra d'una de les caixes, quina és la probabilitat que procedeixi de la segona caixa?. Solució

1r. Definim els esdeveniments Enunciat 1,2, 3 :Triar primera segona o tercera caixa. B: Treure bolla blanca. N: Treure bolla negra 1r. Definim els esdeveniments 2n. Diagrama d’arbre a) B 3/7 1 2 3 1/3 1 2 3 N N 4/7 1 2 N b) B 4/7 N 3/7

PROBLEMA 3 En un aparell de ràdio hi ha presintonitzades tres emissores A, B i C que emeten durant tot el dia. L'emissora A sempre ofereix música, mentre que la B i la C ho fan la meitat del temps d'emissió. Al posar en marxa la ràdio se sintonitza indistintament qualsevol de les tres emissores. a  a)  Obtenir de forma raonada la probabilitat que a l'encendre la ràdio, s’escolti música. b) Si en posar la ràdio, no escoltem música, calcula de forma raonada quina és la probabilitat que estigui sintonitzada en l'emissora B. Solució

1r. Definim els esdeveniments Enunciat A,B,C :Sintonitzar les emissores A, B i C respectivament. M: S’escolta música. NM: No s’escolta música. 1r. Definim els esdeveniments 2n. Diagrama d’arbre a) M 1 A B C 1/3 NM M 1/2 B b) NM 1/2 1/2 M NM 1/2

TAULES DE CONTINGÈNCIA

PROBLEMA 4 Una classe té 24 alumnes i tots ells cursen anglès i matemàtiques; 12 alumnes aproven anglès, 16 aproven matemàtiques i 4 suspenen anglès i matemàtiques. a)      Calculau la probabilitat que, en triar un alumne d’aquesta classe a l’atzar, resulti que aprova matemàtiques i suspèn anglès . b)      En aquesta classe, són independents els esdeveniments “ aprovar anglès” i “aprovar matemàtiques”?. Solució

A M Enunciat 1r. Definim els esdeveniments: 2n. Taula de contingència M: Aprova matemàtiques A: Aprova anglès : Suspèn matemàtiques : Suspèn anglès 1r. Definim els esdeveniments: 2n. Taula de contingència a) A M b) Són independents si es compleix la relació: 8 8 16 De la taula: 4 4 8 12 12 24 Són independents.

PROBLEMA 5 A una empresa, el 40% tenen mitja jornada, el 30% dels qui tenen contracte temporal tenen mitja jornada. A més, el 75% tenen contracte temporal. Si triem una persona a l’atzar, troba la probabilitat. a)    Que no tingui ni contracte temporal ni mitja jornada. b)   Que tingui contracte temporal suposat que no té mitja jornada. Que tingui mitja jornada o contracte temporal. d) Són independents tenir mitja jornada i no tenir contracte temporal? Solució

MJ CT Enunciat a) b) c) 30 45 75 10 15 25 d) MJ: Que tingui mitja jornada CT: Que tingui contracte temporal : Que no tingui mitja jornada : Que no tingui contracte temporal b) MJ CT c) 30 45 75 10 15 25 d) Són independents si es compleix la relació: 40 60 100 Són independents.

BINOMIAL

PROBLEMA 6 La probabilitat que una jugadora de golf faci forat en un llançament a certa distància és 0,2. Si ho intenta 5 vegades, calcula la probabilitat que: a)    N’encerti dues. b)    No n’encerti cap. N’encerti alguna d) Si fa tandes de 5 llançaments, quin serà el nombre mitjà d’encerts?.I la desviació típica? Solució

Enunciat 1r. Definir la V.A .D.: X: Nombre de vegades que fa forat 2n. Comprovar si és Binomial. És Binomial perquè se repeteix 5 vegades la mateixa prova i es manté constant la probabilitat d’èxit. 3r. Definir la Binomial: B(n,p) amb n=5 i p=0,2=>q=0,8 ; B(5 , 0’2) a) b) c) d) μ =n p=> μ =1 σ =0,894

PROBLEMA 7 Una urna conté 3 bolles vermelles i 4 de verdes.Se’n trau una a l’atzar, se n‘anota el color i es torna a l’urna. Si aquesta experiència es repeteix 5 vegades, calcula la probabilitat d’obtenir: a)    Tres bolles vermelles. b)    Més de tres bolles vermelles. Menys de tres vermelles. Alguna vermella. Representa la distribució binomial Solució

Enunciat X: Nombre de vegades que surt vermella És Binomial perquè es repeteix 5 vegades la mateixa prova i es manté constant la probabilitat que surt vermella. B(n,p) amb n=5 i p=3/7=>q=4/7 ; e) B(5 , 3/7) a) b) c) d)

NORMAL

PROBLEMA 8 S’ha passat un test d’agressivitat a tres-cent al·lots i al·lotes de 16 anys i s’ha observat que es distribueixen normalment amb una mitjana de 30 i un desviació típica de 12.Calcula: a)    Quants tenen una puntuació superior a 42 ?. b)    Quina proporció té una puntuació entre 20 i 35?. Solució

? Enunciat a) 1r. Definim la normal: Sigui X la V.A.C. de N(30,12) 1 Tipifiquem: 1 ? -42 30 42 X El 15,87% té una puntuació superior a 42. N’hi ha 300 => -1 0 1 Z 300 · 0,1587= 48 enqüestats b) Un 46% té una puntuació entre 20 i 35

PROBLEMA 9 D’un test aplicat a 400 persones, s’ha obtingut una N(60,5). Si se suspèn al 67% quina és la puntuació mínima per aprovar el test?. Solució

Enunciat 67% Mirar taula: z = 0,44 x z x= 62,2 punts

APROXIMACIÓ DE BINOMIAL A NORMAL

PROBLEMA 10 Llancem 14 vegades una moneda. Calcula la probabilitat que hagin sortit 4 cares. Solució 3,5 4 4,5

Enunciat 1r. Definim la Binomial: B( 14 , 1/2 ) amb p=q=1/2 2n. Podem aproximar a una normal? Sí, aleshores: μ =n p=> μ =7 σ =1,87 V.A.D V.A.C X amb B( 14 , 1/2 ) X’ amb N(7 , 1’87 ) Z amb N(1 , 0) 3r. Correcció de continuïtat: 4t. Tipifiquem: = 0,4693-0,4099 => Un 6% de vegades sortiran 4 cares

PROBLEMA 11 Després de fer diversos sondejos sobre una població rural, s’ha sabut que només el 15% de la població és favorable als tractaments de psicoteràpia.Si s’agafen 50 persones d'aquesta població a l'atzar, calcula: La probabilitat que hi hagi més de cinc persones favorables a aquest tractament. La probabilitat que com a mínim hi hagi sis persones favorables. Nombre esperat de persones favorables al tractament. Solució

c) Nombre esperat : Entre 7 i 8 persones favorables μ Enunciat Es tracta d’una Binomial on: A = favorable al tractament ; P(A) = p = 0,15 NA = No favorable al tractament; q=0,85 B( 50 , 0'15 ) Aleshores, μ =n p=> μ =7’5 σ =2,52 X amb B( 50 ,0’15 ) X’ amb N(7’5 , 2’52 ) Z amb N(1 , 0) a) b) c) Nombre esperat : Entre 7 i 8 persones favorables μ

INFERÈNCIA ESTADÍSTICA MITJANA POBLACIONAL Probabilitat Interval de confiança Grandària de la mostra

PROBLEMA 12 El quocient intel·lectual d’uns universitaris es distribueix normalment amb una mitjana de 100 i una desviació típica de 11. Es tria una persona a l’atzar. Cerca la probabilitat que el seu quocient intel·lectual es trobi entre 100 i 103. Es tria una mostra de vint-i-cinc persones a l’atzar.Cerca la probabilitat que la mitjana des seus quocient intel·lectual es trobi entre 100 i 103. Solució

Enunciat a) Distribució de la mitjana poblacional : N(100,11) b) Distribució de la mitjana mostral : Explicació gràfica

Solució 0,413 N(100,11) 0’106 89 100 111 97’8 100 102’2

PROBLEMA 13 Un estudi de mercat ha determinat que el preu dels llibres científics segueix una distribució normal amb desviació típica de 2’40€. Es vol estimar el preu mitjà dels llibres científics i per fer-ho es tria una mostra aleatòria formada per 34 llibres i es determina que la mitjana mostral és de 20,50€. Cerca l'interval de confiança per al preu mitjà dels llibres científics al nivell de confiança del 99%. Solució

Enunciat L’interval de confiança per a la mitjana poblacional: Què coneixem? La mitjana mostral, =20,50 La desviació típica de la població, =2,40 La grandària de la mostra , n = 34 El nivell de confiança, = 0,99 => el valor crític = 2’58 Substituint: I.C.= (19’43,21’56) Tenim un nivell de confiança del 99% que es trobi dins aquest interval.

PROBLEMA 14 Volem estimar el pes mitjà de les truites d’una piscifactoria. Agafem una mostra de 50 truites. Quan es pesen, es determina que la desviació típica és de 45 grams. Per estimar la mitjana poblacional, volem construir un I.C. al nivell de 95% amb un error de 4,1 grams. Com de gran ha de ser la mostra?. Solució

Enunciat Error L’interval de confiança per a la mitjana poblacional: Desconeixem la desviació típica de la població, però sabem la desviació típica de la mostra, s=45 El nivell de confiança, = 0,95 => el valor crític = 1,96 Aïllant n: n = 462,77 Caldrà obtenir una mostra de 463 truites per arribar a un I.C. de amb un error de 4 gr.

INFERÈNCIA ESTADÍSTICA PROPORCIÓ POBLACIONAL Interval de confiança Grandària de la mostra Probabilitat

PROBLEMA 15 Una empresa troba que sobre una mostra de 1000 persones, 512 voten a favor d’un candidat polític. El candidat vol saber amb un nivell de confiança del 90% entre quins valors es troba la proporció de les persones que el votaran. Solució

L’interval de confiança per a la proporció poblacional: Enunciat L’interval de confiança per a la proporció poblacional: Què coneixem? La proporció mostral, = 0,512 La grandària de la mostra , n = 1000 El nivell de confiança, = 0,90 => el valor crític = 1,64 Substituint: Tenim un nivell de confiança del 90% que la proporció de població que el votarà es troba entre el 49’6% i el 53’8%. I.C.= (0’486 , 0’538)

PROBLEMA 16 Una empresa dedicada a la venda de crispetes compra blat de moro als agricultors. Abans d’efectuar la compra, un agent vol estimar la probabilitat “p” que el gra de blat de moro s’obri en fregir-lo. Ha recollit una petita mostra de 60 grans, en què s’ha vist que 48 s’obrien i el que es vol saber és quants grans ha d’examinar per tal d’estar segur al nivell del 90% de cometre un error màxim de 0,01. Solució

Enunciat Error L’interval de confiança per a la proporció poblacional: La proporció mostral, = 0,8 El nivell de confiança, = 0,90 => el valor crític = 1,64 Aïllant n: n = 4303 Caldrà obtenir una mostra d’almenys 4303 grans per assegurar-nos al 90% que E

PROBLEMA 17 Se sap que el 10% dels habitants d’un determinada ciutat va regularment al teatre. Es pren una mostra a l’atzar de 100 habitants d’aquesta ciutat, quina és la probabilitat aproximada que almenys el 13% d’ells vagi regularment al teatre?. Solució

Enunciat Els exercicis d’inferència referits a proporcions es tracten com a binomials que s’aproximen a normals Partim d’una mostra : I anàlogament als problemes 10 i 11... B(100,0’1) ...0’2033

Càlcul de valors crítics Exemple: Calcula el valor crític corresponent al 90% del nivell de confiança. 0’9 0,05 0’95

CONTRAST D’HIPÒTESIS PER A LA MITJANA

PROBLEMA 18 Es creu que el temps mitjà de lleure diari dels estudiants de batxillerat segueix una N(347,29). Per comprovar aquesta hipòtesi, s’agafa una mostra aleatòria formada per 200 alumnes, i s’observa que el temps mitjà és de 352 minuts. Què es pot dir d’aquesta afirmació al nivell del 10% de significació? Solució

352 no pertany a la Z.A. rebutgem la hipòtesi nul·la Enunciat Plantegem les hipòtesis: La zona d’acceptació per a la mitjana: Z.A. 347 Com: Substituint: 352 no pertany a la Z.A. rebutgem la hipòtesi nul·la

PROBLEMA 19 La publicitat d’un servei de missatgeria garanteix que la durada mitjana de la tramesa d’un paquet entre Barcelona i Madrid és com a màxim de sis hores Es vol comprovar, per la qual cosa agafem una mostra de setanta-cinc paquets rebuts, i s’observa que la durada mitjana de la tramesa va ser de 6,1 hores, amb una desviació típica mostral de 0’6 hores. Comprova aquesta hipòtesi als nivells de significació de l’1% i del 10%. Solució

6’1 pertany a la Z.A. acceptem la hipòtesi nul·la Enunciat a) Plantegem les hipòtesis: La zona d’acceptació per a la mitjana: Z.A. 6 Com: Substituint: 6’1 pertany a la Z.A. acceptem la hipòtesi nul·la

CONTRAST D’HIPÒTESIS PER A LA PROPORCIÓ

PROBLEMA 20 L’ajuntament de Vila afirma que el 65% dels accidents a l’estiu es deuen a l’alcohol.Una investigadora decideix comprovar aquesta hipòtesi, per a la qual cosa agafa una mostra formada per trenta-cinc accidents i observa que vint-i-quatre han estat a causa de l’alcohol.Què podem dir sobre l’afirmació de l’ajuntament al nivell del 1% de significació? Solució

0’686 pertany a la Z.A. acceptem la hipòtesi nul·la Enunciat Plantegem les hipòtesis: La zona d’acceptació per a la proporció: Z.A. Com: 0’65 Substituint: 0’686 pertany a la Z.A. acceptem la hipòtesi nul·la

PROBLEMA 21 Un entrenador assegura que els seus jugadors, en els entrenaments, encistellen més del 92% dels tirs lliures. A fi de comprovar aquesta afirmació, s’ha triat de manera aleatòria una mostra de seixanta llançaments, dels quals quaranta-dos han entrat a la cistella. Aquests resultats, posen en qüestió l’afirmació de l’entrenador prenent un nivell de significació del 10%?. Solució

0’7 no pertany a la Z.A. rebutgem la hipòtesi nul·la Enunciat Plantegem les hipòtesis: La zona d’acceptació per a la proporció: Z.A. Com: 0’92 Substituint: 0’7 no pertany a la Z.A. rebutgem la hipòtesi nul·la