Introducción ¿Qué es una ecuación diferencial?  Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial

Ejemplos de ecuaciones diferenciales 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente T a 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente T a Donde K es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del material

Clasificación General EDO de primer orden.- La forma general es F(x,y,y’)=0 A la forma y’=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. También aparecen en la forma:

Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y (n) )=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones son soluciones de la ecuación del ejemplo (4). La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED

Solución de una ED  Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de T a =15°C ?

Métodos de Solución Analítica  NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica.  Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.

Métodos de Solución Analítica  El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.  Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente  Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido

Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

Separación de variables La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x 2 +y 2 = c 2

ED Lineales de 1 er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales. Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde

ED Lineales de 1 er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1, se obtiene: Por lo tanto

ED exactas La ecuación de la forma tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: y se puede determinar c(y) derivando

ED exactas Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es

Teorema de existencia y unicidad Ejemplo: ¿Son ED exactas?