alrededor de un punto singular regular, x0.

Unidad 6. Capítulo VII. Solución en series de potencias alrededor de un punto singular regular.

alrededor de un punto singular regular, x0.
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Considérese ahora la solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables: alrededor de un punto singular regular, x0. El punto singular regular se supone en el origen, x0 = 0, lo que simplifica el problema sin pérdida de generalidad, ya que cualquier punto singular x0 de una ecuación diferencial puede moverse al origen con la transformación t = x  x0. Así mismo se considera el intervalo x > 0 en las explicaciones, para evitar el signo de valor absoluto.

U-6. Cap. VII. Solución en series: puntos singulares.
Esto no es una limitación seria, ya que el intervalo x < 0 puede manejarse cambiando la variable t = x y realizando el análisis para t > 0. De la definición se deduce que, si x0 = 0 es un punto singular regular, entonces las funciones xP(x) y x2Q(x) son analíticas y tienen expansiones de serie de Taylor en ese punto; por lo que pueden expresarse en la forma: y

Por ejemplo, en la ecuación de Bessel de orden cero:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Las funciones p(x) y q(x) no requieren incluir un gran número de términos, de hecho, en la mayoría de los casos éstas resultan ser polinomios de grado uno o dos. Por ejemplo, en la ecuación de Bessel de orden cero: Se observa que p(x) = 1 y q(x) = x2, que son polinomios simples. Al multiplicar la ecuación por x2 se obtiene: Esta ecuación puede reordenarse en la forma:

Una revisión de esta ecuación indica que sus coeficientes aparecen como el producto de los coeficientes de la ecuación de Euler y los de las ecuaciones que tienen soluciones en series de potencias, lo que sugiere una búsqueda de la solución en la forma: es decir, como un producto de la solución de Euler y una solución en series de potencias.

El procedimiento de buscar una solución de una ecuación diferencial en la forma de un producto de una potencia dada de x y una serie de potencias en x se conoce como método de Frobenius, por el matemático alemán Georg F. Frobenius ( ). Se verá que, alrededor de un punto singular regular, la ecuación diferencial tiene al menos una solución de la forma de la antes descrita, y otra de forma análoga o modificada, dependiendo de los valores de r. Para determinar el valor de r, se considera la ecuación en su forma general y se sustituyen las expansiones para p(x) y q(x), obteniéndose:

luego se supone una solución de la forma:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. luego se supone una solución de la forma: con a0 ≠ 0 y derivándola se obtiene: Sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial e igualando a cero el coeficiente de xr, que es la potencia mas baja de x, se obtiene:

Esta expresión se llama ecuación indicial de la ecuación diferencial y tiene dos raíces reales o complejas, r1 y r2, que denominadas exponentes del punto singular regular considerado. Si las raíces son complejas conjugadas, la solución consta de funciones complejas; sin embargo, aún se puede obtener funciones con valor real separando la parte real y la parte imaginaria de la solución.

Cuando las raíces r1 y r2 son reales y diferentes, siempre se considera a r1 como la raíz mayor. Cuando p(x) = xP(x) y q(x) = x2Q(x) son polinomios, las constantes p0 y q0 son sus términos independientes; de no ser así, se determinan mediante los siguientes limites: y Ejemplo: Demuestre que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial: y determine las raíces de su ecuación indicial, r1 y r2.

Solución: Esta ecuación de segundo orden con coeficientes variables expresada en su forma estándar es: entonces: Como se puede ver, Q(x) es analítica en todas partes, pero el denominador de P(x) se hace cero en x = 0, de manera que x = 0 es un punto singular. Sin embargo, este punto es singular regular, ya que p(x) y q(x) son polinomios, es decir, funciones analíticas.

De aquí se puede observar que p0 = 2 y q0 = 0 y al sustituir estos valores en la ecuación indicial r2 + (p0  1)r + q0 = 0, se obtiene r2 + r = 0 o r(r + 1) = 0, cuyas raíces son r1 = 0 y r2 = 1. Luego, la raíz mayor es r1. Ejemplo: Demuestre que x = 1 es un punto singular regular de la ecuación de Legendre: con a una constante. Mueva este punto singular al origen mediante la transformación t = x  1, y determine las raíces de la ecuación indicial en la ecuación transformada.

Solución: Esta ecuación 2° orden de coeficientes variables expresada en su forma estándar es: entonces: funciones cuyos denominadores se hacen cero en x = 1, por lo que x = 1 y x = 1 son puntos singulares de esta ecuación diferencial. Sin embargo, estos puntos son singulares regulares, ya que para x0 = 1:

y son analíticas. Análogamente se puede probar que x0 = 1 es también un punto singular regular. Para mover el punto singular x0 = 1 al origen, se aplica la transformación t = x  1 y al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene:

en donde: Como se puede ver, el punto t = 0 es un punto singular, es decir, el punto singular regular x0 = 1 ha sido desplazado al origen. Previo al cálculo de las raíces de la ecuación indicial, es necesario determinar los valores de p0 y q0 y, como p(t) y q(t) no son polinomios, se requiere determinarlos a través de los límites:

Al sustituir en la ecuación indicial r2 + (p0  1)r + q0 = 0, se obtiene r2 = 0; es decir, las raíces son reales e iguales a cero. Nota: En este caso resulta más conveniente resolver la ecuación: que su equivalente: lo que evita expandir los términos en el denominador usando la expansión del binomio:

que, en este caso, resulta: y al sustituir en la ecuación específica: que es mucho mas compleja que la ecuación simplificada: La teoría del método de Frobenius es complicada y rebasa el alcance de un texto introductorio sobre ecuaciones diferenciales, los resultados se resumen en el siguiente teorema.

Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación: y sea r el menor radio de convergencia de dos funciones p(x) = xP(x) y q(x) = x2Q(x). Si r1 y r2 son las raíces de la ecuación indicial: donde y r1 > r2 cuando las raíces son reales, entonces existen dos soluciones linealmente independientes y1(x) y y2(x), con un radio de convergencia r. Para x > 0, son de las siguientes formas:

Caso 1: r1 = r2 + l (para l positiva no entera).
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Caso 1: r1 = r2 + l (para l positiva no entera). Caso 2: r1 = r2 = r. Caso 3: r1 = r2 + N (N entero positivo).

donde la constante C puede ser cero. Entonces, la solución general de la ecuación diferencial para los tres casos se expresa en la forma: donde las constantes arbitrarias C1 y C2 se determinan a través del uso de las condiciones iniciales y de frontera. La demostración de este teorema requiere conocimientos más avanzados sobre ecuaciones diferenciales, por lo que no se presenta en estas notas.

Ejemplo: Resuelva la ecuación de Euler de segundo orden:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Ejemplo: Resuelva la ecuación de Euler de segundo orden: Usando el método de series alrededor del punto x0 = 0. Solución: La forma estándar de esta ecuación de segundo orden con coeficientes variables es la siguiente: entonces el punto x0 = 0 es singular regular debido a que p(x) = xP(x) = 11/4 y q(x) = x2Q(x) =1/2 son funciones analíticas (polinomios de grado cero).

cuyas raíces son r1 = 1/4 y r2 = 2, la raíz mayor es r1.
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. De lo anterior se puede ver que p0 = 11/4, q0 = 1/2 y al sustituirlos en la expresión r2 + (p0  1)r + q0 = 0, se obtiene la ecuación indicial: cuyas raíces son r1 = 1/4 y r2 = 2, la raíz mayor es r1. Como las raíces difieren en un número no entero, de acuerdo con el teorema, la ecuación diferencial tiene dos soluciones linealmente independientes, ambas de la forma:

y sustituyendo en la ecuación de Euler original:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Derivándola dos veces: y sustituyendo en la ecuación de Euler original: o que se cumple si y sólo si todos sus coeficientes son cero para toda x, esta condición da un número infinito de ecuaciones para determinar los coeficientes de expansión.

que para k = 0, se reduce a [4r(r  1) + 11r  2]a0 = 0 o 4r(r  1) + 11r  2 = 0 (a0 ≠ 0) y puede reordenarse como: Por tanto se puede concluir que, para k = 0, la relación de recurrencia siempre se reduce a la ecuación indicial. Ahora, la primera solución de la ecuación propuesta, se obtiene usando r = r1 = ¼ por lo que la relación de recurrencia se transforma en:

De esta manera, la 1ª solución es:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. o Entonces, ak = 0 para k = 1, 2,3, , ya que ningún k ≥ 1 puede hacer cero esta relación. De esta manera, la 1ª solución es: La segunda solución linealmente independiente se obtiene repitiendo el procedimiento para r = r2 = 2. La relación de recurrencia en este caso se reduce a:

luego, la segunda solución es:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. o Entonces, bk = 0 para k = 1, 2,3, , ya que ningún k ≥ 1 puede hacer cero esta relación. luego, la segunda solución es: Así, la solución general es:

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial: alrededor del punto x0 = 2 para x > 0. Solución: Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables con x = 2 un punto singular. Para resolverla es necesario desplazar el punto singular al origen mediante la variable t = x  2. Así, la ecuación se transforma en: en donde:

La ecuación, en su forma estándar, se expresa:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. La ecuación, en su forma estándar, se expresa: en donde t = 0 es un punto singular regular, ya que tanto p(t) = tP(t) = 1 como q(t) = t2Q(t) = t  2 son polinomios, es decir, funciones analíticas. Así p0 = 1 y q0 = 2 y, al sustituir en la ecuación indicial r2 + (p0  1)r + q0 = 0, se obtiene r2  2 = 0; cuyas raíces, difieren en un número no entero (caso 1 del teorema).

y sustituyendo en la ecuación diferencial:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Entonces la ecuación diferencial tiene dos soluciones linealmente independientes de la forma: Derivándola dos veces con respecto a t: y sustituyendo en la ecuación diferencial:

Para igualar el exponente de t en todas las sumas, el índice de la 3ª se desplaza en 1 y se reemplaza k por k  1. Ahora, como la 3ª suma inicia en k = 1, se desarrollan los términos que corresponden a k = 0 en las otras tres sumas, para que todas inicien con k = 1. Ecuación que se satisface para toda x si y sólo si todos los coeficientes son cero.

la relación de recurrencia para los coeficientes ak.
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Esta condición para la potencia más baja de t, junto con el requisito de que a0 ≠ 0, recupera la ecuación indicial, que se satisface sólo con los dos valores de r obtenidos. El requisito de que se anulen los coeficientes de todas las demás potencias de t da como resultado: o bien: la relación de recurrencia para los coeficientes ak.

Para: por tanto:

Tomando a0 = 1, la 1ª solución resulta:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. y, generalizando: Tomando a0 = 1, la 1ª solución resulta: La 2ª solución linealmente independiente se obtiene repitiendo el procedimiento para:

Esta relación difiere de la anterior por un signo, por lo que:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Con coeficientes bk, la relación de recurrencia en este caso se reduce a: Esta relación difiere de la anterior por un signo, por lo que: y así, si b0 = 1, la 2ª solución linealmente independiente es:

que converge para cualquier x positiva excepto para x = 2.
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Entonces la solución general es y = C1 y1 + C2 y2, pero considerando que t es x  2, tal solución también puede expresarse en la forma: que converge para cualquier x positiva excepto para x = 2.

U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial: alrededor del punto x0 = 0 para x > 0. Solución: La ecuación diferencial es de segundo orden con coeficientes variables que, en su forma estándar, es: en donde x = 0 es un punto singular regular, ya que las funciones p(x) = xP(x) = (x2  3) y q(x) = x2Q(x) = 4 son analíticas.

Derivando dos veces con respecto a x, se tiene:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. En estas relaciones se observa que p0 = 3 y q0 = 4, con lo que la ecuación indicial r2 + (p0  1)r + q0 = 0 resulta en r2  4r + 4 = 0 o (r  2)2 = 0 y sus raíces son r1 = r2 = 2. De acuerdo con el Caso 2 del teorema, la ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes; la 2ª contendrá un término logarítmico y la primera es de la forma: Derivando dos veces con respecto a x, se tiene:

y sustituyendo en la ecuación diferencial:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. y sustituyendo en la ecuación diferencial: El exponente de x se iguala en todas las sumas, corriendo en 2 los índices de la 2ª y reemplazando k por k  2. Ahora, como la 2ª suma inicia con k = 2, se desarrollan los términos que corresponden a k = 0 y k = 1 y el resultado se combina con las otras sumas (iniciando con k = 2) para obtener:

Para r = 2 resultan a1 = 0 y la relación de recurrencia:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Esta ecuación se satisface para toda x si y sólo si cada uno de los coeficientes es cero, condición que, para la potencia más baja de x y el requisito de que a0 ≠ 0, recupera la ecuación indicial, entonces: Para r = 2 resultan a1 = 0 y la relación de recurrencia:

Al tomar a0 = 1, la primera solución resulta:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. que expresa un coeficiente en términos del 2° anterior. Por tanto, todos los coeficientes con índice par se expresan en términos de a0, y los de índice impar, de a1, que es cero. Entonces, a1 = a3 = a5 =  = 0 y los coeficientes con índice par se expresan como: y en general: Al tomar a0 = 1, la primera solución resulta:

Derivando dos veces con respecto a x, se tiene:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. La 2ª solución linealmente independiente, y2, se determina, de acuerdo con el teorema, en la forma: Derivando dos veces con respecto a x, se tiene:

al sustituir ambas derivadas en la ecuación diferencial y ordenarla, se obtiene: 1) El término logarítmico se anula porque su coeficiente es la ecuación diferencial y y1 es una solución. Esto ocurre siempre para el caso 2.

2) Ahora, los términos con y1 y su derivada son:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. 2) Ahora, los términos con y1 y su derivada son: 3) Por último, las sumas que contienen a bn se pueden simplificar a la forma:

De esta manera se tiene:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. De esta manera se tiene: o el primer término (k = 0) de la primera suma es cero, por lo que:

un reordenamiento de la segunda suma da:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. un reordenamiento de la segunda suma da: así, al combinar éstas dos se obtiene: luego, al combinar y ordenar las sumas con coeficiente bk resulta:

de esta manera se obtiene la ecuación:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. de esta manera se obtiene la ecuación: que se cumple si y sólo si todos los coeficientes son cero. Aplicando esta condición a los dos primeros términos se obtiene b1 = 0 y b2 = ¼. Luego, si se considera que los términos de potencia impar proceden sólo de la segunda suma (siendo valores impares de k) se tiene que k2bk + kbk2 = 0 para k impar. Pero b1 = 0, por lo que bk = 0 para k impar. Es decir:

Entonces la 2ª suma puede modificarse para excluir todos los términos de potencia impar, reemplazando k por 2k, lo que resulta en: o y al anular los términos entre corchetes para toda k se obtiene la siguiente relación de recurrencia:

Recordando que b2 = ¼ , se tiene:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Recordando que b2 = ¼ , se tiene: y en general: por tanto: La solución general es de la forma y = C1y1 + C2y2, y convergirá para cualquier x > 0.

U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial: alrededor del punto x0 = 0 para x > 0. Solución: La ecuación diferencial es de segundo orden con coeficientes variables que, en su forma estándar, es: en donde x = 0 es un punto singular regular, ya que las funciones p(x) = xP(x) = 2 y q(x) = x2Q(x) = x2 son analíticas.

de las relaciones anteriores, p0 = 2 y q0 = 0, con lo que la ecuación indicial r2 + (p0  1)r + q0 = 0 resulta r2 + r = 0 o r(r + 1) = 0 y sus raíces son r1 = 0 y r2 = 1. De acuerdo con el Caso 3 del teorema, la ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes; la primera es de la forma: En este caso se adoptará el menor valor de r = r2 = 1. Obtener ceros para los coeficientes indicará que esto es incorrecto. Obtener una solución con dos constantes arbitrarias indicará que se tienen las dos soluciones.

Derivando dos veces la solución propuesta:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Derivando dos veces la solución propuesta: y sustituyendo en la ecuación diferencial: Para igualar el exponente en todas las sumas, se corre en 2 el índice de la última, reemplazando k por k  2:

Así las potencias de x son iguales, pero la segunda suma inicia con k = 2. Para hacer que las demás también lo hagan, se desarrollan los términos para k = 0 y k = 1, y se combinan las sumas, Esta ecuación se satisface para toda x si y sólo si cada uno de los coeficientes es cero, condición que, para la potencia más baja de x y el requisito de que a0 ≠ 0, recupera la ecuación indicial, entonces:

Para r = r2 = 1 la primera relación da 0 ∙ a1 = 0, lo cual indica que a1 es arbitrario, al igual que a0. La segunda relación da la relación de recurrencia: que expresa un coeficiente en términos del segundo coeficiente anterior; así, los coeficientes con índice par se expresarán en términos de a0 y los de índice impar de a1. Los coeficientes de valores pares de k son:

y generalizando se tiene:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. y generalizando se tiene: Los coeficientes para valores impares de k son: generalizando:

Finalmente, al sustituir en la solución propuesta:
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Finalmente, al sustituir en la solución propuesta: se obtiene la solución general: o bien:

que es una de las soluciones encontradas. Al continuar con
U-6. Cap. VII Solución en series: puntos singulares. Dado que estas soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que ésta es una solución general de la ecuación diferencial planteada. Al repetir el análisis para r = r1 = 0, se obtiene como la 1ª solución linealmente independiente: que es una de las soluciones encontradas. Al continuar con r = r2 = 1 y la 2ª solución con término logarítmico, resulta C = 0. Esta solución convergirá para x > 0.

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