Superfícies

Curvatures principals d’una superfície en un punt. Curvatura de Gauss

Curvatures principals d’una superfície en un punt. Curvatura de Gauss

Les direccions principals són perpendiculars entre si. La curvatura de Gauss en un punt P és el producte de les curvatures normals màxima k1 i mínima k2 en P. Si c és una secció normal i el pla determina un angle α amb el pla de la secció normal màxima, aleshores la curvatura k de c és k=k1 cos2α + k2 sin2α. Sigui c és una secció no necessàriament normal i π el pla que talla el pla tangent en la mateixa recta que la secció de c. Si θ és l’angle que determinen π i la secció, aleshores la curvatura k de c és k=|kN|/cos θ. Per tant, la forma de la superfície queda determinada per les seves curvatures principals.

Punt amb curvatura de Gauss negativa

Punt amb curvatura de Gauss nul·la

Geometria intrínseca d’una superfície Les propietats d’una superfície que només depenen de les longituds de les seves corbes determinen la seva geometria intrínseca. Els angles i les àrees són part de la geometria intrínseca. Un cilindre i un pla tenen la mateixa geometria intrínseca. Les curvatures principals no són de la geometria intrínseca d’una superfície. (Un cilindre de radi R té la curvatura principal màxima igual a 1/R. Si el desenvolupem, el corresponent cercle es transforma en una recta (de curvatura nul·la)). En canvi, la curvatura de Gauss sí que és de la geometria intrínseca d’una superfície.

Teorema egregi de Gauss Dues superfícies tenen la mateixa geometria intrínseca si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss. És a dir, es pot posar una superfície sobre una altra deformant-la de tal manera que es mantinguin les longituds si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss.

Teorema egregi de Gauss Dues superfícies tenen la mateixa geometria intrínseca si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss. És a dir, es pot posar una superfície sobre una altra deformant-la de tal manera que es mantinguin les longituds si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss.

Teorema egregi de Gauss Dues superfícies tenen la mateixa geometria intrínseca si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss. És a dir, es pot posar una superfície sobre una altra deformant-la de tal manera que es mantinguin les longituds si i només si tenen la mateixa curvatura de Gauss.

Superfícies desenvolupables Una superfície és desenvolupable quan es pot superposar en un pla sense modificar les longituds de les seves corbes. Conseqüència immediata del Teorema de Gauss és que una superfície és desenvolupable si, i només si, té curvatura nul·la en tots els seus punts. En particular, una esfera no és desenvolupable.

Superfícies desenvolupables de tipus cònic o radials. Formades per rectes que passen per un punt P i una corba c donades. El punt s’anomena vèrtex, la corba una directriu i les rectes generatrius.

Superfícies desenvolupables de tipus cilíndric. Formades per rectes paral·leles a una direcció i que passen per una corba c donades. La corba és una directriu i les rectes generatrius.

Superfícies desenvolupables de tipus tangencial. Formades per les rectes tangents a una corba donada.

Superfícies reglades Per cada un dels seus punts hi passa com a mínim un segment contingut en la superfície.

Geodèsiques Donen el camí més curt entre dos punts d’una superfície. Són de la seva geometria intrínseca. Si la superfície és desenvolupable la geodèsica entre dos punts P i Q es correspon amb la recta que uneix els seus punts en el desenvolupament.

Teorema Una corba és una geodèsica si i només si el seu vector normal és perpendicular al pla tangent. Si dues superfícies són tangents en una corba que és una geodèsica d’una d’elles, aleshores també és una geodèsica de l’altra. Una superfície reglada és desenvolupable si i només si el pla tangent es manté constant en cada una de les seves rectes.