Cap. 1.- Los números reales (R) El primer paso en la creación de los números R fue la invención de los números enteros positivos (números naturales) 1, 2, 3….., originados por la necesidad de contar objetos. Un conjunto numérico es inadecuado si las cuatro operaciones fundamentales (+, -, x, /) de dos números del sistema no es también un elemento del sistema (propiedad de cerradura). La (-, /) en general no se pueden aplicar a los enteros positivos (Z⁺). De ahí que surgió la necesidad de crear los enteros negativos (Z⁻). El conjunto de los números enteros (Z) esta formado por los Z⁺, los Z⁻ y el cero.

Un número racional (Q) es aquel número que se puede expresar como el cociente de dos Z, siempre que el divisor sea diferente de cero. Como cualquier entero n se puede expresar como un cociente, esto es n = n/1, entonces el conjunto de los Q contiene a los Z. Otros números son los irracionales I, y son aquellos números que no se pueden representar como el cociente de dos Z, por ejemplo: el número pi y el número e. Los Q y los I constituyen el conjunto de los números R.

1.2 Representación geométrica de los R Interpretación de los números R como distancias. Para ello se usarán la línea recta indefinida LL` (recta numérica), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia U.   Los números Q se encuentran en huecos que hay entre los Z. Sin embargo aún quedan huecos los cuales son ocupados por los I.

Los números R comúnmente se representan con letras minúsculas. Se define el conjunto de los R como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos P situados sobre una línea recta, de tal manera que cada punto P está a una distancia r del punto fijo O. Si P esta a la derecha de O, r es positivo; si P esta a la izquierda de O, r es negativo; si P coincide con O, r es cero. Por esta correspondencia biunívoca entre los número R y los puntos de un eje, es usual referirse indistintamente a un número R o a un punto. Cero no es positivo ni negativo y únicamente separa a los números positivos de los negativos.

1.3.1.- Propiedades básicas de los R (axiomas) A1 Para todo a y b en R, a+b Є R (propiedad de cerradura) A2 Para todo a y b en R, a+b = b+a (ley conmutativa) A3 Para todo a, b y c en R, (a+b) + c = a + (b+c) (ley asociativa A4 Hay un elemento y solo uno al que denotamos por “0”, tal que para todo a Є R, a+0 = a = 0+a (existencia y unicidad del elemento neutro aditivo) A5 Para cada a Є R, hay un y solo un elemento, al que denotamos por “-a”, tal que a+(-a) = 0 = a – a (existencia y unicidad del inverso aditivo) M1 Para todo a y b en R, ab Є R (ley de cerradura) M2 Para todo a y b en R, ab = ba (ley conmutativa) M3 Para todo a, b y c en R, (ab)c = a(bc) (ley asociativa)

M4 Hay un y solo un elemento, al que denotamos por “1”, diferente de cero, tal que para todo a en R, a(1) = a = 1(a) (existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo. M5 Para cada a en R, diferente de 0, hay un y solo un elemento, al que denotamos por a-1 tal que a(a-1) = 1 = a-1 (a) (existencia y unicidad del neutro multiplicativo). D Para todo a, b y c en R, a(b+c) = ab +ac (ley distributiva) O1 Para cualesquiera dos elementos a y b en R, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: a<b, a=b, b<a (ley de tricotomía) 02 Si a<b y b<c, entonces a<c (ley transitiva) 03 Si a<b entonces para todo c en R, a+c < b+c O4 Si a<b y 0<c, entonces ac < bc

1.3.2 Consecuencias Sean a, b, c y d números R a+b = a+c => b= c a(0) = 0 ab = ac y a≠0 => b=c ab = 0 => a = 0 o bien b = 0 Definimos: 1) a – b = a + (-b), 2) a/b = a (b)¯¹ con b ≠ 0 3) 1/a = a¯¹ si a ≠ 0 a – b = 0  a = b, a/b = 1  a = b con b ≠ 0

-0 = 0, 1¯¹ = 1, -(-a) = a (a¯¹)¯¹ = 1 con a ≠ 0 -(a+b) = -a –b, (ab)¯¹ = a¯¹ b¯¹ a(-b) = (-a)b = -(ab), (a-b)c = (ac) – (bc) (-a)(-b) = ab a/b = c/d  ad = bc y bd≠0 a/b ± c/d = [(ad) ± (bc)]/(bd) a/b x c/d = ac/bd, a/-b = -(a/b) = (-a)/b, -a/-b = a/b ab/ad = b/c

Leyes de los exponentes (algunas) Si n es un número natural se definen: a si n = 1 aⁿ = { aⁿ¯¹ a si n>1 a° = 1 con a ≠ 0, a¯ⁿ = (a¯¹)ⁿ = (aⁿ)¯¹ = 1/aⁿ ⁿ√a = b => bⁿ = a (si n es par entonces a ≥ 0) Si n es impar bⁿ = a => ⁿ√a = b ⁿ√(a⁹) = (a⁹)⅟ⁿ ⁿ√(ab) = ⁿ√a ⁿ√b, ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ aⁿ a⁹ = aⁿ⁺⁹ (aⁿ)⁹ = aⁿ⁺⁹ aⁿ/a⁹ = aⁿ¯⁹

1.33.- Factorización (productos notables) Por factorizar una expresión algebraica se entiende escribirla como un producto de varios términos. Sacar factor común: ax ± bx = (a+b) x Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b) Factorizar un trinomio: x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a + b)² Cubo perfecto: a³± 3a² b ± 3ab² ± b³ = (a ± b)³ aⁿ - bⁿ = (a-b)(aⁿ¯¹ b°+aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b²+….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ¯¹ b°- aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b² -….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) Teorema del residuo. Si P(x) es un polinomio de grado n y r es una raiz (es decir P(r)= 0) entonces P(x) = (x-r)Q(x) Sea P(x) = x³-6x²+11x-6; sea x=1; P(1)= 1³-(6)(1)²+(11)(1)-6=1-6+11-6=0, luego P(x) es divisible entre (x-1). Haciendo la división tenemos: x³-6x²+11x-6=(x-1)(x²-5x+6)

1.4.- Orden de los números R Cualquier expresión que contenga uno de los cuatro símbolos >, <, ≥, ≤ se llama desigualdad. Un número a que pertenece a los R es positivo si esta a la derecha del cero y negativo si esta a la izquierda, esto se denota así: a>0 o bien o<a y a<0 o bien 0>a, respectivamente. a>0  -a < 0 Si a>b y c<0 => ac>bc Si a>b y c>d => a+c>b+d Si a>b y b>c => a>c Si a≠0 => a²>0 a² +1 > 0 para todo a en los R Si a < 0 => aⁿ >0 si n es par. Si a < 0 => aⁿ <0 si n es impar.

Si 0<a<b => 0<aⁿ<b aⁿ>bⁿ>0 si n es par Si a<b<0 => { aⁿ<bⁿ<0 si n es impar Si 0<a<b => 0<ⁿ√a<ⁿ√b para n un N Si a<b<0 => ⁿ√a<ⁿ√b<0 si n es un N impar Si ab>0 y a>0 => b>0 Si a>0 => a¯¹ >0, Si a<0 => a¯¹<0 Si a>0 y b>0 => a/b>0 Si m/n ≤ p/q <=> mq≤np

1.5.- Intervalos Abierto (a,b) = {xєR|a<x<b} = {xєR|x>a y x<b} Cerrado [a,b] = {xєR|a≥x≥b} = {xєR|x≥a y x≤b} Semiabiertos Semi abierto por la derecha [a,b) = {xєR|a≤x<b} = {xєR|x≥a y x<b} Semi abierto por la izquierda (a,b] = {xєR|a<x≤b} = {xєR|x>a y x≤b} (a,∞) = {xєR|x>}, [a,∞) = {xєR|x≥a} (-∞,a) = {xєR|x>a} (-∞,a] = {xєR|a≤x<b} Debido a que los intervalos son conjuntos (de números) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectúan con cualquier par de conjuntos. Por ejemplo: la unión, la intersección y la diferencia.

Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces Unión de A ⋃ B = {xєR|xєA o bien xєB} Intersección de A ⋂ B = {xєR|xєA y xєB} Diferencia de A y B = {xєR|xєA y x no pertenece a B} Sea A = (-5,4) y B = [-3,8]. La diferencia A-B será (-5, -3) Si A es un intervalo cualesquiera, entonces: A ⋃ Ø = A A ⋂ Ø = Ø A ⋃ R = R A ⋂ R = R

1.6.- Valor absoluto Sobre la recta numérica, la distancia de un número a al origen, que se denota mediante d(a,0), se conoce como valor absoluto y se expresa de la siguiente manera: d(a,0) = |a|. Propiedades del valor absoluto -a si a < 0 |a| = { a si a > 0 |a| = ± a, |a| ≥ 0, |a| = 0  a = 0, √(a)² = a, |a| = |-a| - |a| ≤ a ≤ |a|, |a∙b| = |a| ∙ |b|, |a|ⁿ = |aⁿ| para n є Z |a/b| = |a|/|b| con b ≠ 0, |a+b| ≤ |a| + |b| desigualdad del triángulo |a-b| ≤ |a| + |b| , |a| - |b| ≤ |a-b| Corolarios de la des. del T

Si |a| ≤ c y |b| ≤ |d| => |a+b| ≤ c + d Distancia entre dos puntos Definimos la distancia entre dos puntos a y b como: d(a,b) = |a-b| Propiedades de la distancia d(a,0) = |a-0| = 0, d(a,a) = 0, d(a,b) ≥ 0 d(a,b) = d(b,a), d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c) D del T

Si el número x es igual a M o bien a –M, entonces, la distancia de x al origen es M. |x|= M  x = ± M El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que están a la derecha de –M y a la izquierda de M. d(x,0) <M  |x|<M  -M<x<M xє(-M,M) El conjunto de números x cuya distancia al origen es mayor que M consta de los que están a la izquierda de –M o bien a la derecha de M. d(x,0) > M  |x|>M  x<-M o bien x>M x є (-∞,-M) ⋃ (M, ∞)

Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que están a la derecha de b-M y a la izquierda de b+M. d(x,b) < M  |x-b|< M  -M < x-b < M  b-M < x < b+M  x є (b-M,b+M) Los puntos cuya distancia a b es mayor que M son aquellos que están a la izquierda de b-M o a la derecha de b+M d(x,b) > M  |x-b|> M  x-b < -M o bien x-b > M  x < b-M o bien x > b+M  x є (-∞, b-M) ⋃ (b+M, ∞)

1.7.- Resolución de desigualdades Resolver una desigualdad con una incógnita significa hallar los R tales que la desigualdad se cumple. Llamaremos conjunto solución al conjunto de tales x. Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades: 1.- Para pasar un término de un miembro al otro, se le cambia de signo, es decir, si es + pasa al otro miembro con signo – y viceversa. a+b ≥ c  a ≥ c-b Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro al otro poniéndolo como divisor y viceversa, tomando en consideración lo siguiente: A) Si el factor es + el sentido de la desigualdad se mantiene a∙b ≥ c y b>0  a ≥ c/b y b > 0

Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 & b є R 2.- Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte a∙b ≥ c & b < 0  a ≤ c/b & b < 0 Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 & b є R ax+b ≥ 0 => ax ≥ 0-b  ax ≥ - b, tenemos dos casos: Si a>0 entonces x ≥ -b/a, CS = [-b/a,-∞) Si a<0 entonces x ≤ -b/a, CS = (-∞, -b/a] Geométricamente resolver la desigualdad ax+b≥0 con a≠0 significa hallar las x tales que la recta y=ax+b corta a la recta y=0 o bien esta situada por encima de ella. Ejemplo: Resolver la desigualdad 2x-5≥0 2x-5≥0  2x ≥ 0+5  2x≥5, como 2 > 0, entonces 2x ≥ 5  x>5/2, el CS = [5/2,∞)

Resolver la desigualdad ¾ x + 2/5 < 0 ¾ x + 2/5 < 0  ¾ x < 0 – 2/5  3/4x < -2/5, Como ¾ > 0, entonces ¾ x < -2/5  x < -2/5(4/3) x < -2/5 (4/3)  x < -8/15, CS = (-∞, -8/15) Desigualdades del tipo ax + b ≥ cx + d Resolver este tipo de desigualdades significa hallar otra desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca solo en uno de los miembros. ax + b ≥ cx + d  ax-cx ≥ d-b  (a-c)x ≥ d-b Nuevamente tenemos dos casos: Si a-c >0, entonces x ≥ (d-b)/(a-c), CS = [(d-b)/(a-c), ∞) Si a-c <0, entonces x ≤ (d-b)/(a-c), CS = (-∞, (d-b)/(a-c)]

Resolver la desigualdad 5/4x -2/3 > 8/3x – 2/3. Geométricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d significa hallar las x tales que la recta y = ax + b corta a la recta y = cx + d o bien está por encima de ella. Resolver la desigualdad 5/4x -2/3 > 8/3x – 2/3. 5/4x -2/3 > 8/3x – 2/3  5/4x - 8/3x > 2/3 – 3/2  -17/2 x > -5/6  x < 10/17, CS = (-∞, 10/17]. Desigualdades del tipo a₁x + b₁ ≥ a₂x + b₂ ≥ a₃x + b₃ Geométricamente, resolver este tipo de desigualdades significa hallar las x tales que la recta y = a₂x + b₂ se encuentra entre las rectas y = a₁x + b₁ y y = a₃x + b₃.

Resolver la desigualdad 18-5x > 2x + 3 ≥ 4-3x. 18-5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4-3x Resolviendo la primera desigualdad 18-5x > 2x + 3  -7x > -15  x < 15/7  CS₁ = (-∞, 15/7) Resolviendo la segunda desigualdad 2x + 3 ≥ 4-3x  5x ≥ 1  x ≥ 1/5  CS₂ = [1/5, ∞) El conjunto solución de la doble desigualdad es: CS = CS₁ ⋂ CS₂ = (-∞, 15/7) ⋂ [1/5, ∞) = [1/5, 15/7)

Desigualdades del tipo | ax + b| ≤ M con M>0 Por la definición tenemos que –M ≤ ax + b ≤ M y se cumple cuando ax + b ≥ -M y ax + b ≤ M Resolver la desigualdad |3x – 5| ≤ 4 3x – 5 ≥ - 4 y 3x – 5 ≤ 4  3x ≥ -4 + 5 y 3x ≤ 4 + 5  x ≥ 1/3 y x ≤ 3  CS₁ = [1/3, ∞) y CS₂ = (-∞, 3] El conjunto solución es CS = CS₁ ⋂ CS₂ = [1/3, ∞) ⋂ (-∞, 3] = [1/3, 3] -4 ≤ 3x-5 ≤ 4  -4+5 ≤ 3x ≤ 4+5  1 ≤ 3x ≤ 9  1 (1/3) ≤ (1/3) 3x ≤ (1/3) 9  1/3 ≤ x ≤ 3 Por lo que el CS = [1/3, 3]

Desigualdades del tipo |ax + b| ≥ M con M >0 Resolver la desigualdad |5/3x + ¾| > 2/5 5/3x + ¾ < -2/5  5/3x<-2/5-3/4  5/3x< -23/20  x<3/5(-23/20)  x<-69/100  CS₁ = (-∞, -69/100) Desigualdades del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ 0 Resolver la desigualdad (3x-4)/(2x-5) ≥ 0 Puede suceder que 2x -5 > 0 o que 2x – 5 < 0. Si 2x-5>0 entonces 3x-4>0, así que 2x-5>0 y 3x + 4 ≥0  2x > 5 y 3x ≥ -4  x>5/2 y x ≥ -4/3  x є (5/2, ∞) y x є [-4/3, ∞)  x є [-4/3, ∞) ⋂ (5/2, ∞) = (5/2, ∞) => CS₁ = (5/2, ∞)

Si 2x-5 < 0, entonces 2x – 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0  2x < 5 y 3x ≤-4  x < 5/2 y x ≤ -4/3  x є (-∞, 5/2) y x є [-∞, -4/3]  x є (-∞, 5/2) ⋂ [-∞, -4/3] = (-∞, -4/3] => CS₂ = (-∞, -4/3] . Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es CS = CS ₁ ⋃ CS₂ = R – (-4/3, 5/2). Desigualdades del tipo (ax + b)/(cx + d)≥k Resolver la desigualdad (2x+3)/(4x-5) ≥ 6 Nuevamente tenemos dos casos: A) Si 4x-5<0 entonces la desigualdad se invierte (2x+3)/(4x-5)≥-6  (2x+3)/(4x-5) ∙ (4x-5) ≤ -6(4x-5)  2x+3 ≤ -24x+30  2x+24x ≤ 30 -3  26x ≤ 27  x ≤ 27/26 Pero como 4x – 5 < 0  4x < 5  x < 5/4, se debe cumplir entonces que x < 5/4 y x ≤ 27/26, así que CS₁ = (-∞,27/26].

Si 4x-5 es > 0 entonces la desigualdad no cambia de sentido (2x+3)/(4x-5) ≥ -6  (2x+3)/(4x-5) ∙ ((4x-5) ≥ -6(4x-5)  2x+3 ≥ -24x+30  2x+24x ≥ 30-3  26x ≥ 27  x ≥ 27/26 Pero 4x-5 > 0  4x > 5  x > 5/4. Se debe cumplir que X > 5/4 y x ≥ 27/26. Ambas desigualdades se cumplen cuando x > 5/4. Asi que para este caso CS₂ = (5/4, ∞) Finalmente CS = CS₁ ⋃ CS₂ = R – (27/26, 5/4]

Desigualdades de la forma ax²+bx+c ≥ 0 con a ≠ 0 Resolver la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0 Primero resolvemos la ecuación 2x²+x-6=0 x=-1/4 ± √1²-4(2)(-6)/4= (-1±7)/4 x₁ = 3/2 x₂ = -2, la factorización del trinomio 2x²+x-6 = 2 (x-3/2)[x-(-2)] = 2(x-3/2)(x+2). Luego resolvemos la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0  2(x-3/2)(x+2) ≥ 0  (x-3/2)(x+2) ≥ 0  x-3/2 ≤ 0 y x+2 ≤ 0 o bien x-3/2 ≥ 0 y x+2 ≥0  x ≤ 3/2 y x ≤ 2 o bien x ≥ 3/2 y x ≥ -2  x є (-∞, 3/2] y x є [3/2, ∞) o bien x є [3/2, ∞) y x є [-2,∞)  x є (-∞, 3/2] ⋂ (-∞,-2] o bien x є [3/2,∞) ⋂ [-2,∞) => x є (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞). Por lo tanto, el conj, sol. de la desi. es CS = (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞) = R – (-2, 3/2)

Desigualdades de la forma a₁x²+b₁x+c₁≥a₂x²+b₂x+c₂ con a₁ ≠ a₂ => a₁x²+b₁x+c₁-(a₂x²+b₂x+c₂)≥o => (a₁-a₂) x² + (b₁-b₂)x + (c₁-c₂) ≥ 0 Que es ya del tipo anterior y por lo cual se resuelve de la misma manera, por ejemplo, resolver: 3x²-4x+5≤9x-3x²+10 3x²-4x+5≤9x-3x²+10  3x²-4x+5-(9x-3x² +10)≥0  6x²-13x-5 ≤ 0, resolviendo la ec. 6x²-13x-5 = 0 tenemos x₁ = 5/2 y x₂ = -1/3. La factorización del trinomio nos da 6(x-5/2)(x+1/3) Resolvemos la desigualdad 6x²-13x-5 ≤ 0  6(x-5/2)(x+1/3)  (x-5/2)(x+1/3) ≤ 0  X-5/2 ≤ 0 y x+1/3 ≥ 0 o bien x-5/2 ≥ 0 y x+1/3 ≤ 0 CS = [-1/3, 5/2]

Otras desigualdades Desigualdades de la forma |(2x+3)/(4x-5| ≤ 6 Esta desigualdad no es del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ k pero se puede reducir a resolver dos desigualdades de ese tipo usando la definición de valor absoluto. |(2x+3)/(4x-5| ≤ 6  -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) ≤ 6  -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 El CS de la desigualdad original será la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 (1) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 (2) El CS de (1) es (-∞, 27/26] ⋃ [5/4, ∞) = R – (27/26, 5/4) El CS de (2) es (-∞, 5/4) ⋃ [3/2, ∞) = R – (5/4, 3/2). Finalmente obtenemos la intersección de CS₁ y CS₂ CS= CS₁ ⋂ CS₂ = R – (27/26, 3/2)

Apéndice del capítulo 1.- Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos de cualquier tipo y a dichos objetos se les denomina elementos del conjunto. En nuestro caso todos los elementos serán R. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C D, etc., y a sus elementos por letras minúsculas a, b, c, d, e, etc. x є A = x es elemento (pertenece a) de A x ∉ A = x no es elemento (no pertenece a) de A Un conjunto puede ser expresado por extensión A = {-1, 0, 1….}, por comprensión: A = {todos los x tales que x³ = x} que también se puede expresar simbólicamente A = {x|x³ = x} lo cual se lee A es el conjunto de los elementos x tales que x³ = x.

Un conjunto no se modifica si se cambia el orden de sus elementos. Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota con el símbolo Ø. Si A y B son dos conjuntos, y sucede que todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B o bien que A está contenido en B y se escribe A ⊂ B Cuando A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B El conjunto A es un subconjunto propio de B si A ⊂ B y además B ⊄ A Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos y se escribe A = B

Operaciones con conjuntos La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Esto es A ⋃ B = { x | x є A o bien x є B} La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. Esto es A ⋂ B = { x | x є A y x є B} La diferencia de dos conjuntos A menos B se define como el conjunto de todos los elementos que están en A y que no están en B. Esto es A – B = { x | x є A y x ∉ B} Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, esto es A ⋂ B = Ø Si A es un conjunto y Ø el conjunto vacío, entonces A ⋃ Ø = A y A ⋂ Ø = Ø Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B, entonces A ⋃ B = B y A ⋂ B = A

1.8.3 Igualdades El símbolo = se lee “es igual a” y divide a la expresión (igualdad) en dos partes llamadas miembros: lo que esta antes del signo igual es el primer miembro y lo que esta despues se llama segundo miembro. A su vez, si una igualdad en la que aparecen números y letras es cierta para cualquier valor de las letras, decimos que se trata de una identidad; en caso contrario decimos que se trata de una ecuación. El símbolo ≠ se lee “no es igual a” o bien “es diferente de”. En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es: a=b => b=a Dos números iguales a un tercero son iguales entre sí: a=b y b=c => a=c