Valor Absoluto. Contenido Introducción Definición de Valor Absoluto Notación Propiedades del valor absoluto Aplicaciones.

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1 Valor Absoluto

2 Contenido Introducción Definición de Valor Absoluto Notación Propiedades del valor absoluto Aplicaciones

3 Introducción Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

4 Definición de Valor absoluto Recuerde que la distancia es una medida física NUNCA es negativa; entonces, el valor absoluto NUNCA es negativo Su interpretación gráfica es la distancia al cero. VALOR ABSOLUTO Es la distancia entre 0 y el número de estudio.

5 Notación El valor absoluto de un número a se escribe |a| y se define como sigue: – Si el número es natural, su valor absoluto es él mismo. |4| = 4 ; |0| = 0 – Si el número es negativo, el valor absoluto es su opuesto |-3| = 3 ; |-15| = 15 Generalizando….

6 Valor absoluto Si X es positivo su valor absoluto es el mismo X Ej. Si X=4, su valor absoluto es el mismo 4 Si X es negativo el valor absoluto es el inverso aditivo. Ej. Si X = -7, su valor absoluto es el mismo – (-7)=7 Las barras de valor absoluto también son símbolos de agrupación. Ej. |8 -15| = |-7| = 7

7 Propiedades del valor absoluto |a|≥0 1.El valor absoluto de cualquier número a es positivo |a| = 0  a = 0 2. El valor absoluto de un número es cero si y solo si el número es cero. |a| = |−a| 3. Simetría Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

8 |a · b| = |a · b| 4. Propiedad multiplicativa El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores |a + b| ≤ |a| + |b| 5. Propiedad aditiva El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos. |a - b| = 0  a = b 6. El valor absoluto de la diferencia de dos números es cero, si y solo si los números son iguales. si b  ≠ 0 7. El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos

9 Aplicación: Ecuaciones con valor absoluto Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. – Ahora bien, si tenemos la ecuación: |x − 3| = 5 – Deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: x − 3 = 5 o bien x − 3 = −5 La primera es en el caso de que x − 3 sea 5 (positivo), la segunda en la situación de que sea -5 (negativo).

10 Resolviendo las dos ecuaciones, x − 3 = 5 y x − 3 = −5 tenemos que: x = 8 o bien x = −2 Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5. – Por lo tanto las soluciones son: x=8 y x=2.

11 Mas aplicaciones Distancia entre dos números reales – La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números: – Ejemplo: Encontrar la distancia entre −5 y 4 es: d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| =9 d(a,b) = |b - a|

12 Ejemplo de aplicación La tabla muestra la proyección de las tasas porcentuales anuales de cambio en el número de empleos en algunas de las industrias con mayor crecimiento y con la disminución más rápida de 1994-2005 Industria% de Cambio Salud5.7 Computación4.9 Construcción4.3 Calzado-6.7 Textiles-4.2 Muebles-3.3 ¿Qué industria de la lista tendrá el mayor cambio?, ¿y el menor? Calzado tiene el mayor cambio Muebles tiene el menor cambio

13 Bibliografía Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez Figueroa, Ed. La hoguera, 2001. Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L. Galdos,2005. Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000