 Es evidente que la ecuación no tiene solución en . Sería interesante encontrar un conjunto, si es posible, que contenga a  en el cual tenga solución.

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2  Es evidente que la ecuación no tiene solución en . Sería interesante encontrar un conjunto, si es posible, que contenga a  en el cual tenga solución la anterior ecuación.  Para conseguir este objetivo se introducen los números complejos. Estos números proporcionarán además las soluciones de ecuaciones algebraicas generales de la forma: con. INTRODUCCIÓN.

3  Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones: Dado los números complejos:  Suma.  Multiplicación.  Igualdad. Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos

4  Dado un numero complejo, : Es llamado parte real de z y escribiremos  : Es llamado parte imaginaria y escribiremos Ejemplo:

5  El número complejo (0,1) lo representaremos por i, y se llama la unidad imaginaria.  Todo número real debe ser un número complejo, así escribiremos a=(a,0) y 1=(1,0) Esta notación permite dar a los complejos una forma canónica para interpretar cómodamente sus reglas de cálculo. Así: z=(a,b) = (a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1) y tenemos: z=a+bi  Esta última expresión es llamada forma binomial o forma canónica de un número complejo.  Se verifica. De ahí que suela escribirse: FORMA BINOMIAL O CANÓNICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

6 Si z 1 =a 1 +ib 1 y z 2 =a 2 +ib 2, entonces 1) z 1 + z 2 = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ) Ejemplo  (3+2i) + (-2+3i) = (3-2) +i(2+3) = 1 + i5  (3+2i) + i = 3 + (2+1)i = 3 + 3i 2) z 1. z 2 = (a 1.a 2 - b 1 b 2 )+i(a 1.b 2 + b 1 a 2 ) Ejemplo  (3+2i) (2-3i) =((3)(2)-(2)(-3))+ i((3)(-3)+(2)(2))= 12 – 5i  (3+2i) (i) = 3i + 2(i) 2 = -2+3i Así tenemos:

7 En el conjunto de los números complejos se cumple las siguientes propiedades: Teorema: ADICIONMULTIPLICACION CLAUSURA CONMUTATIVA ASOCIATIVA ELEMENTO NEUTRO ELEMENTO INVERSO DISTRIBUTIVA

8 División de números complejos: La división entre dos números complejos se realiza de la siguiente manera: Ejemplo:

9 Como tenemos que, todo número complejo z=(a,b)=a+bi se puede representar geométricamente por un segmento orientado (flecha), que tiene su origen, en el origen de coordenadas y su extremo en el punto (a,b). El plano complejo:

10 Conjugado de un número complejo: Si es un número complejo, llamaremos conjugado del número z, al número. Ejemplo: Geométricamente:

11 Se cumple las siguientes afirmaciones: Propiedades

12 El módulo de un número complejo z=a+bi es un número real positivo definido por: Geométricamente, el módulo de z=a+bi, es la longitud del segmento orientado que representa a z=a+bi. Módulo de un número complejo

13 Se cumple las siguientes propiedades: Propiedades

14 Sea z=a+bi un número complejo distinto de cero, denotemos por: Del gráfico tenemos: Así z=a+bi se escribe como: El cual es llamado forma polar. Forma polar de un número complejo

15 Observación: Al ángulo se le llama argumento de z=a+bi al cual se le denota por: También se cumple que: Ejemplo: Expresar en su forma polar

16 Operaciones entre números complejos en su forma polar

17 Si z=a+bi y n es un numero entero positivo, entonces se cumple: Teorema de Moivre Ejemplo:

18 Teorema: Si z=a+bi es un número complejo y n es un número entero positivo. La raíz n-ésima de z es: Ejemplo: Raíz n-ésima de un número complejo

19 Forma exponencial de un número complejo Definición: (Fórmula de Euler) Se define la exponencial compleja como: Teorema: (Forma exponencial de un número complejo)

20 Sean z, w dos número complejos. Se cumple: Propiedades Ejemplo: Halle el valor de