Apuntes 1º Bachillerato CT NÚMEROS COMPLEJOS U.D. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

RADICALES EN LOS Nºs COMPLEJOS U.D. 2.8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POTENCIAS EN FORMA POLAR POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces el argumento del complejo dado. Ejemplos: Soluciones: @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

Apuntes 1º Bachillerato CT FÓRMULA DE MOIVRE Fórmula de Moivre Si expresamos la fórmula en forma trigonométrica: que para r = 1, resulta: EJEMPLO: Comprobar la fórmula de Moivre para n = 2. Desarrollando llegamos a: Resultados que ya hemos visto en trigonometría. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

Apuntes 1º Bachillerato CT RAÍCES EN FORMA POLAR RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos, que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y por argumento dando valores a la k (0, 1, 2, 3, … , n – 1) se obtienen todas las soluciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

Apuntes 1º Bachillerato CT RAÍCES EN FORMA POLAR Ejemplo 1 3 |z|=√8 = 2 α=90º α1=(90º+2.0.180º)/3 = 30º α2=(90º+2.1.180º)/3 = 150º α3=(90º+2.2.180º)/3 = 270º z2=2150º z1=230º r=2 z3=2270º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

Apuntes 1º Bachillerato CT RAÍCES EN FORMA POLAR Ejemplo 2 3 6 |z|=√√(4+4) = √8 = √2 α=arctg 2/2 = 45º α1=(45º+2.0.180º)/3 = 15º α2=(45º+2.1.180º)/3 = 135º α3=(45º+2.2.180º)/3 = 255º z2= √2135º z1= √215º r=√2 z3= √2255º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

Apuntes 1º Bachillerato CT RAÍCES EN FORMA POLAR Ejemplo 3 4 √ -81i |z|=√81 = 3 α=270º α1=(270º+2.0.180º)/4 = 67,5º α2=(270º+2.1.180º)/4 = 157,5º α3=(270º+2.2.180º)/4 = 247,5º α4=(270º+2.3.180º)/4 = 337,5º z1= 367,5º z2= 3157,5º z3= 3247,5º z4= 3337,5º z1= 367,5º z2= 3157,5º r=√2 z4= 3337,5º z3= 3247,5º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

Apuntes 1º Bachillerato CT TEOREMA FUNDAMENTAL Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces ó soluciones. Ejemplos Soluciones a) z3 – 2.z2 + 4.z – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Apuntes 1º Bachillerato CT Haciendo ecuaciones Encuentra una ecuación que tenga por raíces: 1º.- z1 = 2, z2 = – 4i, z3 = + 4i (z – 2).(z + 4i).(z – 4i) = 0  (z – 2).(z2 – 16i2) = 0   (z – 2).(z2 + 16) = 0  z3 – 2.z2 + 16.z – 32 = 0 2º.- z1 = 1, z2 = – 1, z3 = i y z4 = – i (z – 1).(z + 1).(z – i). (z + i) = 0  (z2 – 1).(z2 – i2) = 0   (z2 – 1).(z2 + 1) = 0  z4 – 1 = 0 3º.- z1 = 2, z2 = 1 – 4i, z3 = – 3 y z4 = 1 + 4i (z – 2).(z – (1 – 4i)).(z +3). (z – (1 + 4i)) = 0 (z2 + z – 6). (z – 1 + 4i).(z – 1 – 4i) = 0   (z2 + z – 6). (z2 – 2z + 1 + 16) = 0 z4 – z3 + 9.z2 + 29.z – 102 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

Apuntes 1º Bachillerato CT Encuentra una ecuación que tenga por raíces: 4º.- z1 = 2i, z2 = – i, y z3 = – 3i (z – 2i).(z + i).(z + 3i) = 0  (z2 – zi + 2).(z + 3i) = 0 z3 + (3i – i).z2 + (2 – 3i2).z + 6i = 0   z3 + 2i.z2 + 5.z + 6i = 0 5º.- z1 = i, z2 = – i, z3 = 3i , z4 = – 3i , z 5 = 2 (z – i).(z + i).(z + 3i) .(z – 3i).(z – 2) = 0   (z2 – i2). (z2 – (3i)2).(z – 2) = 0   (z2 + 1). (z2 + 9).(z – 2) = 0   (z4 + 10.z2 + 9).(z – 2) = 0   z5 + 10.z3 + 9.z – 2.z4 – 20.z2 – 18 = 0  z5 – 2.z4 + 10.z3 – 20.z2 + 9.x – 18 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11

Apuntes 1º Bachillerato CT FORMA EXPONENCIAL Forma Exponencial o de Euler. Un número complejo en forma trigonométrica se expresa como: z = r(cos α + i.sen α). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler: eiα = cos α + i.sen α Nos queda: z = r·eiα Ejemplos z =230º  z = 2.ei30º z =345º  z = 3.ei45º z =160º  z = ei60º z =√2180º  z = √2.ei180º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT