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Publicada porFrancisco JosΓ© Ignacio CΓ‘ceres Vargas Modificado hace 5 aΓ±os
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NΓΊmeros complejos MATEMΓTICAS I
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π₯βββ π₯ 2 β₯0 β π₯ 2 +1>0 No hay soluciΓ³n real para la ecuaciΓ³n:
NΓMEROS COMPLEJOS π₯βββ π₯ 2 β₯0 β π₯ 2 +1>0 No hay soluciΓ³n real para la ecuaciΓ³n: π π +π=π NECESIDAD DE AMPLIAR β UNIDAD IMAGINARIA: π ππ π’π πΓΊππππ π‘ππ ππ’π π 2 =β1 π= β1
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NΓMEROS IMAGINARIOS PUROS
NΓMEROS COMPLEJOS NΓMEROS IMAGINARIOS PUROS Son nΓΊmeros de la forma ππ, πββ Observamos que: ππ 2 = π 2 Β· π 2 = π 2 Β· β1 =β π 2 Por tanto, si π₯=ππβ π₯ 2 =β π 2 β π₯ 2 + π 2 =0 Es decir, ππ es soluciΓ³n de la ecuaciΓ³n π₯ 2 + π 2 =0 Entonces, βππ tambiΓ©n es soluciΓ³n de la ecuaciΓ³n π₯ 2 + π 2 =0 puesto que: βππ 2 = (βπ) 2 Β· π 2 = π 2 Β· β1 =β π 2 π₯ 2 +4=0 β π₯=β2π π₯= 2π π₯ 2 + π 2 =0 β π₯=βππ π₯= ππ π₯ =0 β π₯=β 13 π π₯= π
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β β β= π§=π+ππ, π,π ββ NΓMEROS COMPLEJOS: β= 1, 2, 3, β¦
β= π§=π+ππ, π,π ββ β= 1, 2, 3, β¦ β β€= β¦, β3, β2, β1, 0, 1, 2, 3, β¦ β= π π , π, π ββ; πβ 0 β π(ππππππππππππ )= 2 , π, π,β¦ β(πππππππππππ )= ππ, πββ
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β= π§=π+ππ, π,π ββ π π Parte real del nΒΊ complejo z: Re(z)
NΓMEROS COMPLEJOS β= π§=π+ππ, π,π ββ π π Parte real del nΒΊ complejo z: Re(z) Parte imaginaria del nΒΊ complejo z: Im(z) EJEMPLOS π§=2+3π β π
π π§ =2 πΌπ π§ =3 π§=2β3π β π
π π§ =2 πΌπ π§ =β3 π§=β2β3π β π
π π§ =β2 πΌπ π§ =β3 π§=β2+3π β π
π π§ =β2 πΌπ π§ =3
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π§=2+3πβ π§ =2β3π π§=2β3πβ π§ =2+3π π§=β1+5πβ π§ =β1β5π π§=5βπβ π§ =5+π
NΓMEROS COMPLEJOS CONJUGADO DE UN NΓMERO COMPLEJO Dado el nΓΊmero complejo π§=π+ππ, se denomina conjugado de z, al nΓΊmero complejo: π§ =πβππ π§=2+3πβ π§ =2β3π π§=2β3πβ π§ =2+3π π§=β1+5πβ π§ =β1β5π π§=5βπβ π§ =5+π MΓDULO DE UN NΓMERO COMPLEJO Dado el nΓΊmero complejo π§=π+ππ, se denomina mΓ³dulo de z, al nΓΊmero real positivo: π§ =+ π 2 + π 2 π§=4+3πβ π§ = = 25 =5 π§=4β3πβ π§ = (β3) 2 = 25 =5 π§ = π§
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REPRESENTACIΓN GRΓFICA DE UN NΓMERO COMPLEJO
NΓMEROS COMPLEJOS REPRESENTACIΓN GRΓFICA DE UN NΓMERO COMPLEJO π§=π₯+π¦π (3, 5) π₯=π
π(π§) π¦=πΌπ(π§) (β7, 3) π π (π₯, π¦)=Afijo de z π π π π =π+ππ π π (6, 0) π π =πβππ π π =βπ+ππ π π π π π π =π π π =βππ (0, β4) (3, β5)
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ARGUMENTO DE UN NΓMERO COMPLEJO π§=π+ππ
NΓMEROS COMPLEJOS ARGUMENTO DE UN NΓMERO COMPLEJO π§=π+ππ πΓ³ππ’ππ: π= π§ =+ π 2 + π 2 π§ tan π= π π π=|π§| π΄πππ’ππππ‘π: π π π π=πΒ·πππ π π=πΒ·π πππ π Observamos que: FORMAS DE EXPRESAR UN NΓMERO COMPLEJO Forma binΓ³mica: π§=π+ππ Forma de par: π§= π, π Forma trigonomΓ©trica: π§=π(πππ π+πΒ·π πππ) Forma polar: π§= π π
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FORMAS DE EXPRESAR UN NΓMERO COMPLEJO: Cambios de forma
NΓMEROS COMPLEJOS FORMAS DE EXPRESAR UN NΓMERO COMPLEJO: Cambios de forma Dado un nΓΊmero complejo en forma binΓ³mica: π§=π+ππ π= π§ = β3 2 = 13 π§=2β3π π= πππ tan β3 2 β
β56Β° 18 β² 36β²β²~303Β° 41 β² 24β²β² Forma trigonomΓ©trica: π§= 13 πππ 303Β° 41 β² 24 β²β² +πΒ·π ππ303Β° 41 β² 24β²β² Forma polar: π§= Β° 41 β² 24β²β² Dado un nΓΊmero complejo en forma polar: π§= π π π§= 5 60Β° Forma trigonomΓ©trica: π§=5 πππ 60Β°+πΒ·π ππ60Β° = πΒ· Forma binΓ³mica: π§= π
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OPERACIONES CON NΓMEROS COMPLEJOS
SUMA Y DIFERENCIA π§ 1 =π+ππ π§ 2 =π+ππ βΉ π§ 1 + π§ 2 = π+π + π+π π π§ 1 β π§ 2 = πβπ + πβπ π π§ 1 =2+3π π§ 2 =1β5π βΉ π§ 1 + π§ 2 =3β2π π§ 1 β π§ 2 =1+8π π§ 3 =β3+2π π§ 4 =β1β2π βΉ π§ 3 + π§ 4 =β4 π§ 3 β π§ 4 =β2+4π
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OPERACIONES CON NΓMEROS COMPLEJOS
PRODUCTO (forma binΓ³mica) π§ 1 =π+ππ, π§ 2 =π+ππ π§ 1 Β· π§ 2 =πΒ·π+πΒ·ππ+πΒ·ππ+πΒ·πΒ· π 2 = ππβππ + ππ+ππ π π§ 1 =2+3π π§ 2 =1β5π βΉ π§ 1 Β· π§ 2 =17β7π PRODUCTO (forma polar) π§ 1 = π πΌ , π§ 2 = π π½ βΉ π§ 1 Β· π§ 2 = πΒ·π πΌ+π½ π§ 1 = π πΌ βΉ π§ 1 =π πππ πΌ+πΒ·π πππΌ π§ 2 = π π½ βΉ π§ 2 =π πππ π½+πΒ·π πππ½ π§ 1 Β· π§ 2 =π πππ πΌ+πΒ·π πππΌ Β·π πππ π½+πΒ·π πππ½ = =ππ πππ πΌΒ·πππ π½βπ πππΌΒ·π πππ½ +πΒ·[π πππΌΒ·πππ π½+π πππ½Β·πππ πΌ] = =ππ cosβ‘[πΌ+π½]+πΒ·π ππ[πΌ+π½] π§ 1 = 2 15Β° π§ 2 = 3 30Β° βΉ π§ 1 Β· π§ 2 = 2Β·3 15Β°+30Β° = 6 45Β°
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OPERACIONES CON NΓMEROS COMPLEJOS
DIVISIΓN (forma binΓ³mica) π§ 1 =π+ππ, π§ 2 =π+ππ π§ 1 π§ 2 = π+ππ π+ππ = π+ππ πβππ π+ππ πβππ = ππ+ππ + ππβππ π π 2 + π 2 = ππ+ππ π 2 + π 2 + ππβππ π 2 + π 2 π π§ 1 =2+3π π§ 2 =1β5π βΉ π§ 1 π§ 2 = 2+3π 1+5π 1β5π 1+5π = β13+13π 26 =β π DIVISIΓN (forma polar) π§ 1 = π πΌ , π§ 2 = π π½ βΉ π§ 1 π§ 2 = π π πΌβπ½ π§ 1 = π πΌ βΉ π§ 1 =π πππ πΌ+πΒ·π πππΌ π§ 2 = π π½ βΉ π§ 2 =π πππ π½+πΒ·π πππ½ π§ 1 π§ 2 = π πππ πΌ+πΒ·π πππΌ π πππ π½+πΒ·π πππ½ = π π Β· πππ πΌ+πΒ·π πππΌ πππ π½+πΒ·π πππ½ = = π π Β· πππ πΌΒ·πππ π½+π πππΌΒ·π πππ½ + π πππΌΒ·πππ π½βπ πππ½Β·πππ πΌ π πππ 2 π½+ π ππ 2 π½ = = π π Β·( πππ πΌβπ½ +πΒ·π ππ[πΌβπ½]) π§ 1 = 2 15Β° π§ 2 = 3 30Β° βΉ π§ 1 π§ 2 = Β°β30Β° = β15Β°
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POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: π π , πββ
NΓMEROS COMPLEJOS POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: π π , πββ π 2 = β1 2 =β1 π π 3 = π 2 Β·π=β1Β·π=βπ π 4 = π 2 Β· π 2 =(β1)Β·(β1)=1 β1 +1 π ~ πππππ£πππ βπ π=πβ4Β·πΈ[ π 4 ] π π = π π (resto de la divisiΓ³n entera n/4) 1749 4 ΒΏ π 1749 ? π 1749 = π 1 =π 14 4 3 7 29 1
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POTENCIA ENTERA DE UN NΓMERO COMPLEJO: π§ π = π+ππ π , πββ
NΓMEROS COMPLEJOS POTENCIA ENTERA DE UN NΓMERO COMPLEJO: π§ π = π+ππ π , πββ Forma binΓ³mica π§ π = π+ππ π = β=0 β=π π β π πββ ππ β 3β2π 5 = β=0 β=5 5 β 3 5ββ β2π β = = β2π β2π β2π β2π β2π β2π 5 = =1Β·243+5Β·81Β· β2π +10Β·27Β· β4 +10Β·9Β·8π+5Β·3Β·16+1Β·1Β· β32π = =β597β122π
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π§ π = π π π = π π Β·β― π π£ππππ β―Β· π π = π π ππ
NΓMEROS COMPLEJOS POTENCIA ENTERA DE UN NΓMERO COMPLEJO: π§ π = π+ππ π , πββ Forma polar π§ π = π π π = π π Β·β― π π£ππππ β―Β· π π = π π ππ 3 22Β° 5 = Β·22Β° = Β°
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π₯+π¦π 2 =π+ππβ π₯ 2 β π¦ 2 +2π₯π¦π=π+ππβ π₯ 2 β π¦ 2 =π 2π₯π¦=π
NΓMEROS COMPLEJOS π§ = π+ππ =π₯+π¦π RAΓZ CUADRADA DE UN NΓMERO COMPLEJO π₯+π¦π 2 =π+ππβ π₯ 2 β π¦ 2 +2π₯π¦π=π+ππβ π₯ 2 β π¦ 2 =π 2π₯π¦=π 5+12π =π₯+π¦π π₯+π¦π 2 =5+12πβ π₯ 2 β π¦ 2 +2π₯π¦π=5+12πβ π₯ 2 β π¦ 2 =5 2π₯π¦=12 2π₯π¦=12βπ₯π¦=6βy= 6 π₯ π₯ 2 β π¦ 2 =5β π₯ 2 β 6 π₯ 2 =5β π₯ 2 β 36 π₯ 2 =5β π₯ 4 β5 π₯ 2 β36=0 π₯ 2 =πβ π 2 β5πβ36=0β π 1 =β4 π 2 =9 β π₯= 9 =Β±3 βy=Β±2 5+12π = 3+2π β3β2π
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NΓMEROS COMPLEJOS RAΓZ n-sima DE UN NΓMERO COMPLEJO: π π§ π§= π πΌ π π§ = π π β π π π = π πΌ β π π =πβπ = π π ππ=πΌ+πΒ·360Β°, π=0, 1, 2, β―,πβ1 π π πΌ = π π πΌ+πΒ·360Β° π π=0, 1, β―, πβ1 Β° = Β°+πΒ·360Β° 5 π=0, 1, β―, 4 = Β° Β° Β° Β° Β°
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NΓMEROS COMPLEJOS RAΓCES DE LA UNIDAD 1= 1 0Β° 5 1 0Β° = Β°+πΒ·360Β° 5 π=0, 1, β―, 4 = 1 0Β° Β° Β° Β° Β° 1 72Β° 1 144Β° 1 0Β° 1 216Β° 1 288Β°
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NΓMEROS COMPLEJOS FIN DE NΓMEROS COMPLEJOS
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