Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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1 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.
MÉTRICA DEL ESPACIO U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

2 DISTANCIAS EN EL ESPACIO (I)
U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

3 DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] B(8, 5, 13) Siempre podemos formar un triángulo rectángulo en el espacio cuyos catetos son: La diferencia de x, de y , de z. El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| = = √ [ (8 – 4)2 + (5 – 2)2 + (13 – 1)2 ] = = √ [ ] = √169 = 13 A(4, 2, 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Más ejemplos EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5, 0) al punto Q(0, 2, 5). d (P,Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 + (5 – 0) 2 ] = √ ((- 7) ) = = √ 123 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 10, 0) al punto Q(- 3, a, a) es √ 186. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ] = √ 186 √ [ ( ) 2 + ( a - (- 10)) 2 + a 2 ] = √ 186 √ [ (- 8) 2 + ( a + 10) 2 + a 2 ] = √ 186 Eliminando la raíz: a a a 2 = 186 2a a – 22 = 0  a a – 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: a = 1, a = – 11 El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1, 1) y también ( - 3, - 11, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

5 DISTANCIA DE PUNTO A RECTA
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Si A es un punto de la recta y v su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de P a r es: siendo el numerador el módulo del producto vectorial. EJEMPLO Hallar la distancia del punto P(1, 0, -2) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y el vector director de la recta v(0, 1, -1) i j k |AP x v| | -3i+3j+3k | √(9+9+9) 3√6 d(P, r) = = = = = ----- |v| √( ) √ √ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Más ejemplos EJEMPLO 2 Hallar el valor del parámetro λ para que la distancia del punto P(1, 0, λ) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y v(0, 3, 4), valga 4 unidades. i j k λ |AP x v| |– 2i + 3k + i + λi + 3j | d(P, r) = 4 = = = |v| √( ) Operando: 20 = √(λ – 1) ) 400 = (λ – 1) ) 400 = λ2 – 2.λ λ2 – 2.λ – 381 = 0 2 +/- √(4 – 4.(– 381)) /- 39,09 λ = = = 1 +/- 19,54 = 20,54 y – 18,54 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Más ejemplos EJEMPLO 3 Hallar la distancia entre el punto A(3, 2, 7) y la recta del primer octante. Solución La recta del primer octante es la que pasa por el punto O(0,0,0), el punto (1,1,1), el (2,2,2), el (3,3,3),…, y el (n,n,n). Su ecuación paramétrica será: x = t r: y = t , siendo t el parámetro. z = t El vector director de la recta será: u = (1, 1, 1) y pasa por O(0,0,0) i j k 3 – – – 0 |AP x v| | 2i + 7j + 3k – 7i – 3j – 2k | d(A, r) = = = = |v| √( ) √3 = |– 5i + 4j + k| / √3 = √( ) / √3 = √42 / √3 = √14 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

8 DISTANCIA DE PUNTO A UN PLANO
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sea el plano π: Ax+By+Cz+D=0 y P(p1, p2, p3) es el punto exterior, la distancia de P a π es: Ejemplo 1 Hallar la distancia del punto P(2, -3 , 4) al plano π : x + 5y – 6z + 6 = 0 La distancia es: | (-3)+(-6).4 + 6| |2 – 15 – | √62 d(P, π) = = = = = √(12+52+(-6)2) √( ) √ = √62 / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Más ejemplos Ejemplo 2 Hallar la distancia del punto P(1, -1 , 0) al plano π : x – z + 6 = 0 | (- 1)+(- 1).0 + 6| | 1+ 6| √2 d(P, π) = = = √( ) √ Ejemplo 3 Hallar el valor del parámetro k para que la distancia del punto P(k, 0 ,–1) al plano π : 3x – 4y = 0 sea de 3 unidades. |3.k – (- 1)| |3.k| |k| d(P, π) = 3 = = = √(32+(– 4)2+02) Operando: 5.3 = 3.|k|  k = 5 o k = – 5 para que se cumpla. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

10 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejercicio Determinar la ecuación del plano π que está a √6 unidades de distancia del punto A(– 2, 3 , 3) y es paralelo a π' 2x + y – z = 3. SOLUCIÓN Distancia del A(0 , 3 , 3) al plano π: 2x + y – z = k | (-1) + k| d(A, π) = = √(22+12+(-1)2) |k| = = √6  |K| = 6  k = 6 y k = – 6 √6 Para k = 6 π 2x + y – z = 6 Para k = – 6 π 2x + y – z = – 6 d A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

11 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
Si los dos planos no son paralelos, la distancia es nula. Si los planos son paralelos, se hallará un punto cualquiera P de uno de los planos y se hallará la distancia del punto P al otro plano. Ejemplo Hallar la distancia entre π : x + 5y – 6z + 6 = 0 y π’ : x + 5y – 6z – 2 = 0 Los planos son paralelos, pues tienen el mismo vector director N(1, 5, -6). Un punto cualquiera de π’ es: P(3, 1, 1) | (-6).1 + 6| |3 + 5 – 6 + 6| √62 d(P, π) = = = = = √(12+52+(-6)2) √( ) √ = 4.√62 / 31 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Más ejemplos Ejemplo 2 Hallar la distancia del plano π : 6x – 8y = 0 al plano π´ : 6x – 8y – 14 = 0 Un punto cualquiera, P, de π´ será P(1 ,– 1 , 0) |6.1+ (- 8).(- 1) | | 6+8 | d(P, π) = = = = 1,40 unidades √(62+(- 8)2+02) Ejemplo 3 Hallar el valor del parámetro k para que la distancia del plano π : x – y = 0 al plano π’ : x – y – k = 0 sea de 5 unidades. Un punto cualquiera de π es P(1 , 1, 0) |1.1 + (- 1) – k| |– k| d(P, π’) = 5 = = √(12+(– 1)2+02) √2 Operando: 5. √2 = |– k|  k = 5.√2 o k = – 5.√2 para que se cumpla. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Problema Hallar la distancia del plano π que pasa por A(1,1,0), B(0,1,0) y C(1,0,0) al plano π’ que pasa por D(0,0,1), E(1, 0,1) y F(0,1,1). Solución Vectores directores del plano π≡ABC AB = u = (0 – 1, 1 – 1, 0 – 0 ) = (– 1 , 0 , 0) AC = v = (1 – 1, 0 – 1, 0 – 0 ) = (0 , – 1 , 0) Ecuación del plano π: (x,y,z) = (1, 0 , 0) + λ.(– 1, 0 , 0) + μ .(0 ,– 1 , 0) En paramétricas: x = 1 – λ , y = – μ , z = 0 Vectores directores del plano π’≡DEF DE = u’ = (1 – 0, 0 – 0, 1 – 1 ) = (1 , 0 , 0) DF = v’ = (0 – 0, 1 – 0, 1 – 1 ) = (0 , 1 , 0) Ecuación del plano π’: (x,y,z) = (0, 0 , 1) + λ’.(1, 0 , 0) + μ’ .(0 , 1 , 0) x = λ’ , y = μ’ , z = 0 F D π’ E d π B C A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

14 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.
… Problema …Solución En paramétricas, π: x = 1 – λ , y = – μ , z = 0 En paramétricas, π’: x = 1 – λ’ , y = – μ’ , z = 0 En explícitas, π: {x – 1 + λ = 0 , z = 0} En explícitas, π’: {x – 1 + λ’ = 0 , z = 0} Un punto cualquiera P de π’, P(1, 0, 1) Distancia de P a π: | (– μ) | 1 d(P, π) = = --- = 1 √( ) √1 F D π’ E d π B C A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.