RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

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1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
U.D. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
MÉTODO DE GAUSS U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Ejercicio previo Sea el sistema: 4x- 3y + z = 2 (1) 3x – 4y + 5z = 5 (2) 7x + 2y – 3z = - 3 (3) Aplicamos el M. de Sustitución. Para ello despejamos “z” de la ecuación (1) z=2- 4x + 3y Sustituimos esa expresión en las otras dos ecuaciones: 3x – 4y + 5(2- 4x + 3y) = 5 7x + 2y – 3(2- 4x + 3y) = - 3 Operando, queda: 3x – 4y x + 15y = 5 7x + 2y – x - 9y = - 3 - 17x + 9y = - 5 19x – 7y = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Teníamos: - 17x + 9y = (4) 19x – 7y = 3 (5) Multiplicando la primera (4) por 7 y la segunda (5) por 9, tenemos: - 119x + 63y = - 35 171x – 63y = 27 Sumando ambas resulta: 52x =  x = - 8 / 52 = - 4 / 26 = - 2 / 13 Sustituyendo en (4) - 17.(-2/13) + 9y = ,, / y = ,, y = - 65 117 y = , y = - 99 / 117 = - 33 / 39 = / 13 Y finalmente como z = 2 – 4x + 3y z = 2 – 4(-2/13) + 3(-11/13) = /13 – 33/ 13 = - 1 / 13 ,, z = - 1 / 13 Como hemos dicho, ese es el caso más favorable de resolver sistemas de tres o más ecuaciones lineales, y aún así resulta bastante engorroso. Cuando el sistema sea de ecuaciones lineales, el método más rápido y fácil de resolverlo es el llamado MÉTODO DE GAUSS. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente escalonado. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: Se multiplica o divide una ecuación por un número. Se cambia el orden de las ecuaciones. Se cambia el orden de las incógnitas en todas las ecuaciones del sistema. Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. Si para ello se emplean sólo coeficientes y términos independientes, estructurados en forma de matrices, el proceso es más fácil. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Método de Gauss Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Método de Gauss Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a , en ese orden. MUY IMPORTANTE: Este método sirve cualquiera que sea el número de ecuaciones lineales y de incógnitas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8 Análisis de resultados
Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejemplo 1 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y z = 3 y z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = , en ese orden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejemplo 2 Sea: x - y z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F y F2 = F2 + 2.F1 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y z = 4 La solución: z = 10 / 5 = 2 y = ( ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / , en ese orden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Ejemplo 3 Sea: x - 6y z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3 ,, F2 = F2 : (-2) ,, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1 ,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 79/30 z = 91 /15 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

12 CLAVE del Método de Gauss
El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Para ello: Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Llamamos filas a las ecuaciones porque al trabajar más tarde con Matrices las ecuaciones se transformarán en filas de números (los coeficientes de las incógnitas más los términos independientes), no siendo ya necesario denotar las ecuaciones como tales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.