SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

Presentación del tema: "SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES"— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
U.D * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 MÉTODO DE GAUSS EN SISTEMAS LINEALES
U.D * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 Matemáticas 1º Bachillerato CT
SISTEMAS LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones características son de primer grado. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. CLASIFICACIÓN SEGÚN SOLUCIONES Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

4 REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS
1.- Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: x + y = y + 2 (1) x = 2 (1) x – y = 0 (2) x – y = 0 (2) 2.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: 2.x + 6y = 8 (1) x + 3y = 4 (1) 3.- Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Ejemplo: 2x – 3y = x + 2 (1) 2x – 3y = x + 2 (1) 2x + 3y = 3 (2) 4x = x + 5 (2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. Método de Igualación Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. Método de Reducción Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado. Método Gráfico Se representan gráficamente las dos rectas correspondientes y las coordenadas del punto de corte será la solución. Método de Gauss para tres o más ecuaciones. Se hallan sistemas equivalentes hasta conseguir que en cada ecuación haya sólo una incógnita; los términos independientes son los valores de la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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MÉTODO DE GAUSS Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Aplico el método de reducción para obtener: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h =0 , j <> 0  S. INCOMPATIBLE La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a , en ese orden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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CLAVE PRÁCTICA El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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Ejemplos EJEMPLO 1 Sea: 2.x + 4.y – 5z = 1 3.x – 5.y + 2.z = 0 4.x + 7.y – 5.z = 6 Clave: Divido la 1º entre 2: Queda: 1.x + 2.y – 2’5.z = 0’5 EJEMPLO 2 Sea: 7.x + 3.y – 3z = 7 3.x – 5.y + 2.z = 0 4.x + 7.y – 5.z = 6 Clave: A la 3º ecuación quito la 2º y luego permuto la 1º con la 3º Queda: 1.x y – 7.z = 6 3.x – 5.y + 2.z = 0 7.x y – 3.z = 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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EJEMPLO 1 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y z = 3 y z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 - 6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = , en ese orden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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EJEMPLO 2 Sea: x - y z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila ; y obtengo finalmente: x - y z = 4 La solución del sistema será: z = 10 / 5 = 2 y = ( ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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EJEMPLO 3 Sea: x - 6y z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3 ,, F2 = F2 : (-2) ,, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1 ,, F3 = F3 – F1 ; y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y /6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT