@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 10 * 1º BCT TRIGONOMETRÍA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 10 * 1º BCT TRIGONOMETRÍA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 U.D. 10.7 * 1º BCT ECUACIONES Y SISTEMAS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. Resolver la ecuación será hallar el argumento. Existen tres tipos de ecuaciones, según su dificultad: Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y hallamos el argumento. Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar. Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación. SISTEMAS DE ECUACIONES En ellos aparecen dos o más ecuaciones con varios argumentos distintos. Su resolución no difiere en nada a los sistemas algebraicos.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 EJEMPLOS TIPO 1 sen α = 1  α = arcsen 1 = π/2 + 2kπ cos α = - 1  α = arcos (-1) = π + 2kπ tg α = 1  α = arctg 1 = π/4 + kπ EJEMPLOS TIPO 2 3 cos α = sec α  3 cos α = 1 / cos α  cos 2 α = 1/3   cos α = ±√3 / 3  α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73º  α = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º tg α = tg 2.α  tg α = 2.tg α / (1 – tg 2 α)  tg α – tg 3 α = 2.tg α  0 = tg 3 α – tg α  0 = tg α.(tg 2 α – 1) = tg α. (tg α + 1) (tg α – 1)  tg α = 0  α = arctg 0 = 0 + k.π rad tg α = 1  α = arctg 1 = π/4 + k.π rad tg α = -1  α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad 4 sen α = cosec α  4 sen α = 1 / sen α  sen 2 α = 1/4   sen α = ± ½  α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad  α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 EJEMPLOS TIPO 3 cos α = 2.sen α  ½ = sen α / cos α  ½ = tg α   α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k sen 2 α = cos α + 0,25  ±√(1 - cos 2 α) = cos α + 0,25  (1 - cos 2 α) = cos 2 α + 0,5.cos α + 0,0625  0 = 2.cos 2 α + 0,5.cos α – 0’9375  Ecuación 2º grado x=cos α cos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4  cos α = (- 0’5 ± √ 7’75) / 4  cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4   cos α = 0,4460  α = arcos 0’4460 = ± 63’51º + 360º.k  cos α = - 0,8210  α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k sen α – 2.cos α = 0  sen α – 2.(±√(1 - sen 2 α)) = 0  sen α = ± 2.√(1 - sen 2 α)  Elevando todo al cuadrado sen 2 α = 4.(1 - sen 2 α)  sen 2 α = 4 – 4.sen 2 α  5.sen 2 α = 4  sen 2 α = 4/5  sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5  α = arcsen 0’4.√5 = ± 63’43º + 180º.k

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 EJEMPLO 1: SISTEMA Resolver el sistema: sen x + sen y = 0 cos x – 2.sen y = – √2 / 2 Por Reducción, sumando la segunda al doble de la primera: 2.sen x + cos x = √2 / 2 cos x = (√2 / 2) – 2.sen x ±√(1 - sen 2 x) = (√2 / 2) – 2.sen x  Elevando al cuadrado  1 - sen 2 x = 0,5 – 2√2.sen x + 4.sen 2 x  0 = 5.sen 2 x – 2√2.sen x – 0’5  Ecuación 2º grado sen x = (2√2 ± √ [ 8 – 4.5.(– 0’5) ] ) / 10  sen x = 0,2.√2 ± 0’3.√2  sen x = 0,2.√2 + 0’3.√2 = 0’5.√2  x = arcsen 0’5.√2 = 45º y 135º sen x = 0,2.√2 – 0’3.√2 = – 0’1.√2  x = arcsen (– 0’1.√2 ) = - 8,13º y 188’13º Para x=45º, en la primera ecuación: sen 45º + sen y = 0  sen y = - sen 45º  sen y = - 0’7971   y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º Para x=135º, en la primera ecuación: sen 135º + sen y = 0  sen y = - sen 135º  sen y = - 0’7971   y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º Igual haríamos para x = - 8,13º y x = 188’13º Y comprobamos las 8 posibles soluciones en la 2º ecuación.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 EJEMPLO 2: SISTEMA Resolver el sistema: cos x + cos y = – 1 cos x – 2.sen y = – 3 Por Reducción, restando: cos y + 2.sen y = 2 ±√(1 - sen 2 y) + 2 sen y = 2  ±√(1 - sen 2 y) = 2 – 2.sen y  1 - sen 2 y = 4 – 8.sen y + sen 2 y  0 = 2.sen 2 y – 8.sen y + 3  Ecuación 2º grado sen y = (8 ± √ [ 64 – 4.2.3] ) / 4  sen y = (8 ± 2√10) / 4  sen y = 2 ± 0’5.√10  sen y = 2 ± 1’58  sen y = 3,58  No hay solución sen y = 0,42  y = arc sen 0,42 = 24’83º y 155’17º + 360.k En la primera ecuación: cos x + cos 24’83º = – 1  cos x = – 1 – 0,9075 = – 1,9075  No hay. cos x + cos 155’17º = – 1  cos x = – 1 + 0,9075 = – 0,0925  x = arcos (– 0,0925) = 95’30º y 264’70º Comprobamos en la 2º ecuación: cos 95’30º - 2.sen 155’17º = - 3  - 0,0925 – 2.0,42 = - 3  No se cumple El sistema no tiene solución.