Tele clase 13 Optimización unidimensional

Problemas de optimización

Problemas de optimización Características de la función a optimizar.

Problemas de optimización Características de la función a optimizar. ¿Se conoce la expresión analítica de la función?

Problemas de optimización Características de la función a optimizar. ¿Se conoce la expresión analítica de la función? Número de variables.

Problemas de optimización Características de la función a optimizar. ¿Se conoce la expresión analítica de la función? Número de variables. Tipos de variables.

Problemas de optimización Características de la función a optimizar. ¿Se conoce la expresión analítica de la función? Número de variables. Tipos de variables. Restricciones.

Problemas de optimización Características de la función a optimizar. ¿Se conoce la expresión analítica de la función? Número de variables. Tipos de variables. Restricciones. Tipos de restricciones.

El enfoque del Cálculo

El enfoque del Cálculo 1 Obtener la expresión analítica de la función a optimizar.

El enfoque del Cálculo 1 Obtener la expresión analítica de la función a optimizar. 2 Derivar la función respecto a sus variables.

El enfoque del Cálculo 1 Obtener la expresión analítica de la función a optimizar. 2 Derivar la función respecto a sus variables. 3 Hallar los ceros de las derivadas (puntos críticos).

El enfoque del Cálculo 1 Obtener la expresión analítica de la función a optimizar. 2 Derivar la función respecto a sus variables. 3 Hallar los ceros de las derivadas (puntos críticos). 4 Investigar si los puntos críticos son puntos de extremo.

Ejemplo Halle la mínima distancia desde el punto (2; 1) hasta la curva cuya ecuación es y = ex. y y = ex 1 2 x

Ejemplo Halle la mínima distancia desde el punto (2; 1) hasta la curva cuya ecuación es y = ex. y y = ex (x, y) 1 2 x

Ejemplo Halle la mínima distancia desde el punto (2; 1) hasta la curva cuya ecuación es y = ex. y y = ex (x, y) d 1 2 x

Ejemplo Halle la mínima distancia desde el punto (2; 1) hasta la curva cuya ecuación es y = ex. y y = ex (x, y) d 1 2 x

Ejemplo Minimizar w donde: y = ex

Ejemplo Minimizar w donde: y = ex

Ejemplo Minimizar w donde: y = ex = 0

Ejemplo Minimizar w donde: y = ex = 0 No hay solución analítica

Ejemplos Hallar la mejor ubicación para una fábrica entre dos ciudades. En una de ellas hay fuerza laboral abundante, en la otra se encuentran los almacenes de materia prima y los consumidores del producto.

Ejemplos Hallar la mejor ubicación para una fábrica entre dos ciudades. En una de ellas hay fuerza laboral abundante, en la otra se encuentran los almacenes de materia prima y los consumidores del producto. No se conoce la expresión analítica de la función.

Ejemplos ¿Cuántos programadores debe tener un equipo para que se obtenga la máxima productividad?

Ejemplos ¿Cuántos programadores debe tener un equipo para que se obtenga la máxima productividad? No se conoce la expresión analítica de la función.

Ejemplos Los mayores yacimientos de petróleo se encuentran bajo el lecho marino. ¿A que distancia de la costa debe perforarse un pozo para maximizar la ganancia?

Ejemplos Los mayores yacimientos de petróleo se encuentran bajo el lecho marino. ¿A que distancia de la costa debe perforarse un pozo para maximizar la ganancia? No se conoce la expresión analítica de la función.

Ejemplos Unimodal x*

Ejemplos Unimodal x*

Ejemplos No unimodal

Función unimodal de una variable f(x) se llama unimodal con máximo si existe en su dominio un x* tal que si x1 y x2 pertenecen al dominio: x1 < x2 < x*  f(x1) < f(x2) x1 x2 x*

Función unimodal de una variable f(x) se llama unimodal con máximo si existe en su dominio un x* tal que si x1 y x2 pertenecen al dominio: x* < x1 < x2  f(x1) > f(x2) x* x1 x2

Propiedad básica Sea f(x) unimodal con un máximo en x= x* Sea x1< x2 ; y1= f(x1); y2= f(x2)

Propiedad básica Sea f(x) unimodal con un máximo en x= x* Sea x1< x2 ; y1= f(x1); y2= f(x2) y1< y2  x1< x* y1 y2 x1 x2

Propiedad básica Sea f(x) unimodal con un máximo en x= x* Sea x1< x2 ; y1= f(x1); y2= f(x2) y1 > y2  x*< x2 y1 y2 x1 x2

Propiedad básica Sea f(x) unimodal con un máximo en x= x* Sea x1< x2 ; y1= f(x1); y2= f(x2) y1 = y2  x1< x*< x2 y1 y2 x1 x2

Búsqueda sin restricciones

Búsqueda sin restricciones Se sabe que f(x) es una función unimodal con máximo.

Búsqueda sin restricciones Se sabe que f(x) es una función unimodal con máximo. Se trata de hallar el punto de máximo con una determinada tolerancia.

Búsqueda sin restricciones Se sabe que f(x) es una función unimodal con máximo. Se trata de hallar el punto de máximo con una determinada tolerancia. Para hacerlo, se realizan experimentos.

Tipos de métodos

Tipos de métodos Búsqueda simultánea Búsqueda secuencial

Tipos de métodos Búsqueda simultánea Todos los experimentos se hacen al mismo tiempo y después se analizan los resultados. Búsqueda secuencial

Tipos de métodos Búsqueda simultánea Todos los experimentos se hacen al mismo tiempo y después se analizan los resultados. Búsqueda secuencial Para realizar un experimento primero se analizan los resultados de los anteriores.

Búsqueda simultánea

Búsqueda simultánea x1< x2<...< xn x1 xk xn

Búsqueda simultánea x1< x2<...< xn yk = max {y1, y2,..., yn} x1 xk xn

Búsqueda simultánea x1< x2<...< xn yk = max {y1, y2,..., yn}  xk-1< x* < xk+1 x1 xk xn

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 y0

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 y0< y1

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 y0< y1<...< yk-2

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 xk-1 y0< y1<...< yk-2< yk-1

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 xk-1 xk y0< y1<...< yk-2< yk-1 > yk

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 xk-1 xk y0< y1<...< yk-2< yk-1 > yk

Búsqueda secuencial uniforme xi = x0 + is s > 0 x0 xk-1 xk y0< y1<...< yk-2< yk-1 > yk  xk-2< x*< xk

Algoritmo Se supone que f(x) es unimodal con máximo y que está definida en todo el intervalo en que se efectúa la búsqueda. Datos: f(x), x0, s  0

Algoritmo k := 0

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0)

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s yk := f(xk)

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s yk := f(xk) until yk< yk-1

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s yk := f(xk) until yk< yk-1 x* se encuentra entre xk-2 y xk

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s yk := f(xk) until yk< yk-1 x* se encuentra entre xk-2 y xk Terminar

Estrategias de búsqueda

Estrategias de búsqueda Usar un s grande. Una vez obtenido un intervalo, reducir s y comenzar otra búsqueda.

Estrategias de búsqueda Usar un s grande. Una vez obtenido un intervalo, reducir s y comenzar otra búsqueda. Usar un s grande. Una vez obtenido un intervalo, utilizar algoritmos de búsqueda en un intervalo.

Estrategias de búsqueda Usar un s grande. Una vez obtenido un intervalo, reducir s y comenzar otra búsqueda. Usar un s grande. Una vez obtenido un intervalo, utilizar algoritmos de búsqueda en un intervalo. Duplicar s en cada iteración

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s yk := f(xk) until yk< yk-1 x* se encuentra entre xk-2 y xk Terminar

Algoritmo k := 0 y0 := f(x0) repeat k := k + 1 xk := xk-1 + s s := 2s yk := f(xk) until yk< yk-1 x* se encuentra entre xk-2 y xk Terminar

Ejemplo La función f(x) = x2senx es unimodal con máximo entre 0 y . Halle su punto de máximo con error menor que 0,001.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 s = 0,3

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841 1,6 2.55891

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841 1,6 2.55891 1,9 3.41614

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841 1,6 2.55891 1,9 3.41614 2,2 3.91312

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841 1,6 2.55891 1,9 3.41614 2,2 3.91312 2,5 3.74045

Ejemplo Etapa 2 x f(x) = x2senx x0 = 0,7 0,7 0.31567 1,0 0.84147 s = 0,3 1,3 1.62841 1,6 2.55891 1,9 3.41614 2,2 3.91312 2,5 3.74045

Ejemplo Etapa 3 x f(x) = x2senx x0 = 1,9 1,9 3.41614 s = 0,1

Ejemplo Etapa 3 x f(x) = x2senx x0 = 1,9 1,9 3.41614 2,0 3.63719 s = 0,1 2,1 3.80675 2,2 3.91312 2,3 3.94478 2,4 3.89067

Ejemplo Etapa 3 x f(x) = x2senx x0 = 1,9 1,9 3.41614 2,0 3.63719 s = 0,1 2,1 3.80675 2,2 3.91312 2,3 3.94478 2,4 3.89067

Ejemplo Etapa 4 x f(x) = x2senx x0 = 2,2 2,20 3.91312 s = 0,02

Ejemplo Etapa 4 x f(x) = x2senx x0 = 2,2 2,20 3.91312 2,22 3.92579 s = 0,02 2,24 3.93538 2,26 3.94180 2,28 3.94496 2,30 3.94478

Ejemplo Etapa 4 x f(x) = x2senx x0 = 2,2 2,20 3.91312 2,22 3.92579 s = 0,02 2,24 3.93538 2,26 3.94180 2,28 3.94496 2,30 3.94478

Ejemplo Etapa 5 x f(x) = x2senx x0 = 2,26 2,260 3.94180 s = 0,005

Ejemplo Etapa 5 x f(x) = x2senx x0 = 2,26 2,260 3.94180 2,265 3.94290 s = 0,005 2,270 3.94380 2,275 3.94449 2,280 3.94497 2,285 3.94524 2,290 3.94530 2,295 3.94515

Ejemplo Etapa 5 x f(x) = x2senx x0 = 2,26 2,260 3.94180 2,265 3.94290 s = 0,005 2,270 3.94380 2,275 3.94449 2,280 3.94497 2,285 3.94524 2,290 3.94530 2,295 3.94515

Ejemplo Etapa 6 x f(x) = x2senx x0 = 2,285 2,285 3.945236 s = 0,001

Ejemplo Etapa 6 x f(x) = x2senx x0 = 2,285 2,285 3.945236 2,286 3.945265 s = 0,001 2,287 3.945286 2,288 3.945298 2,289 3.945302 2,290 3.945297

Ejemplo Etapa 6 x f(x) = x2senx x0 = 2,285 2,285 3.945236 2,286 3.945265 s = 0,001 2,287 3.945286 2,288 3.945298 2,289 3.945302 2,290 3.945297

Ejemplo Etapa 6 x f(x) = x2senx x0 = 2,285 2,285 3.945236 2,286 3.945265 s = 0,001 2,287 3.945286 2,288 3.945298 2,289 3.945302 2,290 3.945297 x* = 2,289  0,001

Optimización en un intervalo

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. a b

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. x1 y x2 en [a, b] con x1< x2 y1= f(x1); y2= f(x2) a x1 x2 b

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. x1 y x2 en [a, b] con x1< x2 y1= f(x1); y2= f(x2) y1< y2 y2 y1 a x1 x2 b

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. x1 y x2 en [a, b] con x1< x2 y1= f(x1); y2= f(x2) y1< y2 y2 y1  x1< x* < b a x1 x2 b

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. x1 y x2 en [a, b] con x1< x2 y1= f(x1); y2= f(x2) y1> y2 y2 y1 a x1 x2 b

Optimización en un intervalo f(x) unimodal con máximo en [a, b]. x1 y x2 en [a, b] con x1< x2 y1= f(x1); y2= f(x2) y1> y2 y2 y1  a < x* < x2 a x1 x2 b

Método de bisección Tomar x1 y x2 muy próximos entre si, a ambos lados del centro del intervalo [a, b]. d a x1 x2 b centro

Método de bisección Tomar x1 y x2 muy próximos entre si, a ambos lados del centro del intervalo [a, b]. d a x1 x2 b

Método de bisección Tomar x1 y x2 muy próximos entre si, a ambos lados del centro del intervalo [a, b]. d a x1 x2 b

Convergencia

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par)

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par) L0 = b-a

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par) L0 = b-a

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par) L0 = b-a

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par) L0 = b-a

Convergencia Ln: Amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos (n par) L0 = b-a

Algoritmo

Algoritmo Se supone que f(x) está definida y es unimodal con máximo en [a, b].

Algoritmo Se supone que f(x) está definida y es unimodal con máximo en [a, b]. Se obtiene un intervalo de amplitud menor que  que contiene al punto x* de máximo.

Algoritmo Se supone que f(x) está definida y es unimodal con máximo en [a, b]. Se obtiene un intervalo de amplitud menor que  que contiene al punto x* de máximo. Datos: f(x), a, b,  y 

Algoritmo repeat

Algoritmo repeat

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2)

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2) if y1< y2 then a:= x1 else b:= x2

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2) if y1< y2 then a:= x1 else b:= x2 L := b-a

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2) if y1< y2 then a:= x1 else b:= x2 L := b-a until L< e

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2) if y1< y2 then a:= x1 else b:= x2 L := b-a until L< e El intervalo es [a, b]

Algoritmo repeat y1 := f(x1); y2 := f(x2) if y1< y2 then a:= x1 else b:= x2 L := b-a until L< e El intervalo es [a, b] Terminar

Ejemplo La función f(x) = x2senx es unimodal con máximo entre 0 y . Halle su punto de máximo con error menor que 0,001.

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

Respuesta x* = 2,2885  0,001

Comparación Búsqueda uniforme: Bisección:

Comparación Búsqueda uniforme: Etapa 1: 6 evaluaciones Etapa 2: 6 evaluaciones Etapa 3: 5 evaluaciones Etapa 4: 5 evaluaciones Etapa 5: 7 evaluaciones Etapa 6: 5 evaluaciones Total: 34 Bisección:

Comparación Búsqueda uniforme: Etapa 1: 6 evaluaciones Etapa 2: 6 evaluaciones Etapa 3: 5 evaluaciones Etapa 4: 5 evaluaciones Etapa 5: 7 evaluaciones Etapa 6: 5 evaluaciones Total: 34 Bisección: 22

El método de Fibonacci La estrategia de Bisección: a x1x2 b

El método de Fibonacci La estrategia de Bisección: a x1x2 b a b

El método de Fibonacci La estrategia de Fibonacci: a x1 x2 b

El método de Fibonacci La estrategia de Fibonacci: a x1 x2 b a b

El método de Fibonacci La estrategia de Fibonacci: a x1 x2 b a x1 x2 b

El método de Fibonacci La estrategia de Fibonacci: a x1 x2 b a x1 x2 b a b

El método de Fibonacci La estrategia de Fibonacci: a x1 x2 b a x1 x2 b a x1 x2 b

Sucesión de Fibonacci F0 =1 F1 =1 Fn = Fn -1 + Fn -2 n = 2, 3, 4,...

Sucesión de Fibonacci F0 =1 F1 =1 Fn = Fn -1 + Fn -2 n = 2, 3, 4,... {Fn } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...}

Ejemplo

El método de Fibonacci FN

El método de Fibonacci FN x1 x2 FN-2 FN-2

El método de Fibonacci FN x1 x2 FN-2 FN-2 FN-1

El método de Fibonacci FN x1 x2 FN-2 FN-2 FN-1

El método de Fibonacci FN x1 x2 FN-2 FN-2 FN-1 FN-2

El método de Fibonacci FN x1 x2 FN-2 FN-2 FN-1 FN-3 FN-3 FN-2

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r – 1= 0

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0 = 1,618034...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0 = 1,618034...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0 = 1,618034...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 n = 1, 2, 3,... r2 - r - 1= 0 = 1,618034... = 0,618034...

La sucesión Dn Dn = Dn -1 + Dn -2 n = 2, 3, 4,... Dn = rDn -1 r = 1,618034... Dn-1 = GDn G = 0,618034...

El método de la sección áurea L=Dn

El método de la sección áurea L=Dn Dn-2 Dn-2 Dn-1

El método de la sección áurea L=Dn Dn-2 Dn-2 Dn-1 Dn-2 = L - Dn-1

El método de la sección áurea L=Dn Dn-2 Dn-2 Dn-1 Dn-2 = L - Dn-1 = L – GL

El método de la sección áurea L=Dn Dn-2 Dn-2 Dn-1 Dn-2 = L - Dn-1 = L – GL = = 0,381966 L

El método de la sección áurea

Convergencia

Convergencia Ln-1

Convergencia Ln-1 Ln

Convergencia Ln-1 Ln Ln = G Ln-1

Convergencia Ln-1 Ln Ln = G Ln-1 = G2 Ln-2

Convergencia Ln-1 Ln Ln = G Ln-1 = G2 Ln-2 = ... = Gn-2 L2

Convergencia Ln-1 Ln Ln = G Ln-1 = G2 Ln-2 = ... = Gn-2 L2 Ln = Gn-1 L0

Convergencia Ln-1 Ln Ln = G Ln-1 = G2 Ln-2 = ... = Gn-2 L2 Ln = Gn-1 L0

Algoritmo de Fibonacci

Algoritmo de Fibonacci L := b-a

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL y1 := f(x1) ; y2 := f(x2)

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL y1 := f(x1) ; y2 := f(x2) repeat

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL y1 := f(x1) ; y2 := f(x2) repeat if y1< y2 then

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL y1 := f(x1) ; y2 := f(x2) repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2

Algoritmo de Fibonacci L := b-a Factor := 0,381966 x1:= a+FactorL; x2:= b - FactorL y1 := f(x1) ; y2 := f(x2) repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2)

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2)

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2)

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else b := x2; x2 := x1; y2 := y1

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1)

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a

Algoritmo de Fibonacci repeat if y1< y2 then a := x1; x1 := x2; y1 := y2 x2 := b-FactorL; y2 := f(x2) else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a until L< e

Algoritmo de Fibonacci else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a until L< e

Algoritmo de Fibonacci else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a until L< e

Algoritmo de Fibonacci else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a until L< e El punto de máximo está en [a, b]

Algoritmo de Fibonacci else b := x2; x2 := x1; y2 := y1 x1 := a+FactorL; y1 := f(x1) end L:= b-a until L< e El punto de máximo está en [a, b] Terminar

Ejemplo La función f(x) = x2senx es unimodal con máximo entre 0 y . Halle su punto de máximo con error menor que 0,001.

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

Respuesta x* = 2,289  0,001

Eficiencia

Eficiencia Ln: amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos.

Eficiencia Ln: amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos. Bisección: Fibonacci:

Eficiencia Ln: amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos. Bisección: Fibonacci: L10 = 0,031L0

Eficiencia Ln: amplitud del intervalo de búsqueda después de n experimentos. Bisección: Fibonacci: L10 = 0,031L0 L10 = 0,013 L0

Bibliografía Texto: Secciones: 6.1, 6.2 y 6.3

Ejercicios recomendados Sección 6.2: 1, 3, 4 Sección 6.3: 1, 2, 4