Distribución en variable continua

Presentación del tema: "Distribución en variable continua"— Transcripción de la presentación:

1 Distribución en variable continua
PEDRO GODOY G.

2 Análisis de variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, siendo el caso más común la distribución normal. En este tipo de variable no se calcula la probabilidad de que tome un valor específico, sino la probabilidad de que se encuentre dentro de un cierto intervalo.

3 Función de densidad En probabilidades, la función de densidad de probabilidad o función de densidad está asociada a una variable aleatoria continua, cuya gráfica corresponde a rectas o curvas continuas, encontrándose el 100% de los elementos pertenecientes al espacio muestral bajo esta curva. Es decir, si el área total bajo la curva representa al 100% de los datos, entonces el área total de esta será igual a 1.

4 Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran en un determinado intervalo de la población, basta con calcular el área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado a la probabilidad de obtener al azar un elemento de la población que se encuentre en este intervalo. A diferencia de una función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta, en una función de densidad no se puede determinar la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un determinado valor. Solo se puede calcular la probabilidad de que el valor que tome la variable aleatoria se encuentre en un determinado intervalo, considerando el área bajo la curva limitada por los valores en el que se encontrará el valor deseado. La probabilidad de que la variable tome un valor específico será igual a cero, ya que bajo un punto no es posible determinar el área.

5 Ejemplo: El siguiente gráfico muestra la función de densidad de una variable estadística continua X que puedetomar valores entre 2 y 8. El área que se encuentra bajo cualquier porción de la curva representa el porcentaje de los datos que se encuentra en dicho intervalo, es decir, la probabilidad P de que la variable tome algún valor dentro de él.

6

7

8 Función Densidad Continua (o distribución de probabilidad continua)
Es una función que permite obtener la probabilidad de ocurrencia para intervalos de valores de una variable aleatoria continua. La función densidad de una variable aleatoria X se denota habitualmente como f(x). Esta función se expresa siempre como una fórmula matemática, como la distribución Normal, distribución t de Student, etc. Supongamos una variable aleatoria X  ]- , +  [. Sea A un evento definido como A={x / a  x  b}, o bien A= [a,b] , con a y b constantes conocidas. Luego, el suceso A es el intervalo de valores de X entre a y b. Entonces si f(x) es la función densidad de X, se tiene:

9 Es decir, la probabilidad de que A ocurra se calcula como el área bajo la curva f(x) en el intervalo de puntos de X que pertenecen al intervalo A. Gráficamente, la probabilidad de que A ocurra es:

10 El área bajo la curva (la probabilidad calculada), no cambia si se toma o no en cuenta el punto a, b o ambos, ya que el área en un punto vale cero. Es decir

11 Propiedades de la Función Densidad Continua
Por ser una función densidad, f(x) debe cumplir las siguientes propiedades:

12

13 Distribución de Probabilidad Normal
La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre ( ). Posteriormente, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss ( ) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss".

14 Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Luego, muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. Por otra parte, varios procedimientos estadísticos usados habitualmente asumen la normalidad de los datos observados. Ejemplos. • Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (como estaturas, pesos, diámetros, etc.) • Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. • Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. • Caracteres psicológicos, por ejemplo: cuociente intelectual, grado de adaptación a un medio. • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. • Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: distribución del promedio de un conjunto de datos muestrales cuando el tamaño de la muestra es grande.

15 Donde  y  son la varianza de la distribución. Para indicar que una
Variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros  y  se usa la notación X  N( , ) Para cada valor de  y  se tiene una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N( , ) representa una distribución normal.

16 tiene distribución normal con media 0 y varianza 1
tiene distribución normal con media 0 y varianza 1. Esta distribución se denomina distribución normal estándar. Generalmente se usa la letra z para identificar una variable con esta distribución. La operación de transformar X en z se llama estandarización y permite transformar cualquier distribución normal a una normal estándar. Esto facilita el cálculo de probabilidades bajo distribución Normal, ya que sólo se requiere conocer la distribución Normal estándar para determinar probabilidades bajo cualquier distribución Normal.

17 Ejemplo Si se tiene que la presión arterial diastolica(PAD) distribuye N(80,12) e interesa calcular la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga un a PAD mayor que 90 mm Hg. Este valor de probabilidad la encontraremos en la tabla de distribución normal

18 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,7123 0,7454 0,7704 0,8051 0,8315 0,7157 0,7486 0,7793 0,8078 0,8340 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8364 0,7224 0,7549 0,7652 0,8133 0,8389 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9235 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,8621 0,8930 0,9015 0,9177 0,9319 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9370 0,9485 0,9582 0,9664 0,9732 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9762 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

19

20

21 Buscar en la tabla de la normal estándar N(0;1) las probabilidades:
a) p(Z ≤ 1,05) b) p(Z ≤ 1,52) c) p(Z ≤ - 0,82) d) p(Z  1,35) e) p(Z > 3,24)

22 Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor z y la media 0 de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes : a) P(z ≤ 0,22) b) P(z <-1,8) c) P(z > 1,0092) d) P(z>-1,61) e) P(-2,06 < z <-0,24) f) P(-0,02 ≤ z ≤ 1,7)

23

24 Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada
población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg? R

25

26 Los tiempos de la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras tiene una distribución de tipo normal con un promedio de horas y una desviación estándar de 200 horas. ¿Qué fracción de impresoras fallará antes de horas? ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía para estas impresoras si el fabricante desea que solamente presenten averías el 5% de las impresoras dentro del tiempo de garantía?

27 En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

28 Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4. Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos R: 0,22663 Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. R : 0,22663 c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos ? R : 232 aspirantes

29 La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: Entre 60 kg y 75 kg Más de 90 kg Menos de 64 kg 64 kg 64 kg o menos

30 Entre 60 kg y 75 kg

31 Más de 90 kg

32 Menos de 64 kg

33 64 kg

34 64 kg o menos

35 Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

36

37 Una máquina produce tubos cuyo diámetro sigue una distribución N(35,6 ; 0,16) . Suponiendo que los tubos no sirven si su diámetro es inferior a 36,1mm. ¿Qué porcentaje de tubos defectuosos produce ésta máquina? Suponga que las edades de inicio de cierta enfermedad sigue una distribución N(11,5 ; 9). Un niño contrae recientemente la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad del niño sea entre 8,5 y 14,5 años?

38 RELACION ENTRE PROMEDIO Y DESVIACIÓN ESTANDAR
Pero las relaciones más importantes entre la media y la desviación estándar surgen cuando la distribución de los datos es simétrica y en forma de campana, como en el caso de la distribución normal. En este caso se cumple que: Aproximadamente el 68% de los datos muestrales se sitúa entre Aproximadamente el 95% de los datos muestrales se sitúa entre Aproximadamente el 99% de los datos muestrales se sitúa entre

39 N(,  ): Interpretación probabilista
Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68% Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

40

41 Las temperaturas ambientales de funcionamiento óptimo de los motores de una fábrica se distribuyen de manera normal, con media de 16 C y desviación estándar de 4°C. ¿Qué porcentaje de los motores de la fábrica funcionan óptimamente con una temperatura mayor que 20 C? A) 84,1% B) 20% C) 35,1% D) 15,9% E) 90%

42

43 3. Intervalos de confianza
3.1 Definición Sea X una variable estadística que se distribuye de forma normal en una cierta población, con desviación estándar σ. Si la población es muy grande resulta bastante difícil calcular la media μ de X. Sin embargo, si se saca una muestra de X de promedio , se puede determinar un intervalo de confianza dentro del cual se encuentre μ, con un cierto nivel de confianza. X 1 – α α se conoce como el nivel de significancia y (1 – α) se conoce como el nivel de confianza.

44 3. Intervalos de confianza
3.2 Determinar intervalo de confianza Sea una variable estadística que se distribuye normalmente en una población, con media  y desviación estándar σ. Si se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es , entonces con un nivel de confianza del (1 – α)·100% el valor de  se encuentra en el intervalo [ – E, E]. E es el error, y se determina con la fórmula es el coeficiente asociado al nivel de confianza, y se determina con el procedimiento descrito a continuación…

45 3. Intervalos de confianza
3.2 Determinar intervalo de confianza Por ejemplo si el nivel de confianza es del 95%, entonces: (1 – α) · 100 = 95 (1 – α) = 0,95 α = 0,05 = 0,025 1 – = 0,975 = 1,96

46 C 3. Intervalos de confianza 3.3 Ejemplo
Los datos de una población se modelan mediante una distribución normal, con media μ y varianza 4. Se toma una muestra de esta población de tamaño 49, cuyo promedio es 57,5. Si de esta muestra se obtiene un intervalo de confianza para μ igual a [56,94; 58,06], ¿cuál de los siguientes valores es el coeficiente asociado al nivel de confianza de este intervalo? A) 13,72 B) 0,98 C) 1,96 D) 0,56 E) 0,28 ALTERNATIVA CORRECTA C

47 ejercicio Un ingeniero de una fábrica debe inferir sobre el diámetro medio (m) de los rodamientos de su producción, y para ello tomará una muestra al azar de rodamientos y la utilizará para construir un intervalo de confianza del 95% para m. Si los diámetros de los rodamientos se modelan a través de una distribución normal, con varianza 4 mm2, ¿cuál es el mínimo número de rodamientos que debe tener la muestra, para que el margen de error del intervalo construido sea menor o igual a 1 mm? A) 62 B) 7 C) 11 D) 4 E) 16 ALTERNATIVA CORRECTA E

48

49 C E

50 A E

51 B

52

53

54 El promedio de notas de un curso en matemáticas es una variable aleatoria que se distribuye de forma normal con los datos de abajo, N(,) =N(6 ; 2) ¿ Entre qué promedios de notas de matemática se encuentra aproximadamente el 68% de los estudiantes del curso? a) ]3 ; 5[ b) ]4 ; 8[ c) ]3 ; 6[ d) ]-4 ; 8[ e) ]2 ; 6[

55

56