Tele clase 15 Ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial Es una ecuación que contiene derivadas

Ejemplos

Solución Una función que exprese la relación que debe existir entre las variables para que la ecuación diferencial se satisfaga.

Solución particular Una solución que no contiene constantes arbitrarias.

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2

Ejemplo y(1) = 2 Solución general

Ejemplo y(1) = 2 K = 2

Ejemplo y(1) = 2 K = 2 Solución particular:

Geométricamente

Los métodos analíticos Utilizan operaciones algebraicas.

Los métodos analíticos Utilizan operaciones algebraicas. Primero se halla la solución general y después la solución particular a partir de las condiciones iniciales y de frontera.

Los métodos analíticos Cada método analítico se ocupa de un tipo especial de ecuación diferencial y no es aplicable a otros tipos.

Los métodos analíticos Cada método analítico se ocupa de un tipo especial de ecuación diferencial y no es aplicable a otros tipos. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede resolverse por esta vía.

Ejemplo: El péndulo simple t = 0

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo t > 0 

Ejemplo t > 0 y  x

Ejemplo t > 0 y  T x mg

Ejemplo t > 0 y  T x mg

Ejemplo t > 0 y  T x mg

Ejemplo t > 0 y  T x mg

Ejemplo t > 0 y  T x mg

Un cable colgante

Un cable colgante y x

Un cable colgante y s x x

Un cable colgante y T2 s x T1 x ws

Un cable colgante y T2 s x T1 x ws

Un cable colgante y T2 s x T1 x ws y(0) = 0 y’(0) = 0

E. D. de primer orden y(x0) = y0

Campo de direcciones

Campo de direcciones El campo de direcciones es un esquema en el cual, para un conjunto regular de puntos del plano xy se dibujan pequeños segmentos de recta cuya pendiente es f(x, y)

Campo de direcciones

Campo de direcciones y x

Campo de direcciones pendiente: f(x, y) y x

Campo de direcciones pendiente: f(x, y) Una solución y x

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

E. D. inestables y(x0) = y0

E. D. inestables y(x0) = y0 Se dice que es inestable si pequeños cambios en y0 producen grandes cambios en la solución para valores de x alejados de x0

Ejemplo Observe el campo de direcciones de la ecuación diferencial en la región -2 < x < 2; -2 < y < 2 y analice su estabilidad.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo y(-2) = -1,66 y(-2) = -1,67

E. D. estable modelo A > 0

Ejemplo

El método de Euler y y(x0) = y0 x

El método de Euler y y0 x x0

El método de Euler y y0 x x0 x1 x2

El método de Euler y y0 x x0

El método de Euler y y0 y1 h x x0 x1

El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y0 y1 h x x0 x1

El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y0 y1 h x x0 x1

El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2= y1 + hf(x1, y1) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

El método de Euler y y1= y0 + hf(x0, y0) y2= y1 + hf(x1, y1) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

El método de Euler xn+1= xn + h y yn+1= yn + hf(xn, yn) y2 y0 y1 h h x x0 x1 x2

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0)

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) =

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) = 1,6

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x0 = 0 y0 = 2 y1= y0 + hf(x0, y0) = 2 + (0,1)(02 – 22) = 1,6 x1 = 0,1 y1 = 1,6

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1)

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] =

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] = = 1,345

Ejemplo y(0) = 2 h = 0,1 x1 = 0,1 y1 = 1,6 y2= y1 + hf(x1, y1) = 1,6 + (0,1)[(0,1)2 – (1,62)] = = 1,345 x2 = 0,2 y2 = 1,345

Algoritmo Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Euler, con paso h

Algoritmo Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Euler, con paso h Datos: f, x0, y0, h, xf

Algoritmo

Algoritmo n := 0

Algoritmo n := 0 do while xn  xf

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn)

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1 end

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada xn+1 := xn + h yn+1 := yn + hf(xn, yn) n := n + 1 end Terminar

Ejemplo y(0) = 2 Hallar la solución en el intervalo 0  x  3, mediante el método de Euler con paso h = 0,1

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0

Error local en el método de Euler y(x0) = y0 Error de y1

Error en el método de Euler Error local de yn: O(h2)

Error en el método de Euler Error local de yn: O(h2) Error total de yn: O(h)

Estimación del error yh: Solución para x con paso h

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp (Euler: p = 1)

Ejemplo Resolver la ecuación diferencial: y(0) = 2.5 mediante el método de Euler con h = 0,1 en el intervalo [0, 3]. Estimar el error en x = 0, 1, 2 y 3

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución x yh y2h eh 2.5 1 0.8591 2 1.6798 3 2.8152

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Solución x yh y2h eh 2.5 2.5 1 0.8591 0.7607 2 1.6798 1.6633 3 2.8152 2.8160

Solución x yh y2h eh 2.5 2.5 1 0.8591 0.7607 0.0984 2 1.6798 1.6633 0.0165 3 2.8152 2.8160 -0.0008

Ejemplo

Estabilidad del método de Euler Para la ecuación estable modelo el método de Euler es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor xn+1

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor

Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2

Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2 Error local: O(h3)

Métodos de Taylor Fórmula de Taylor de orden 2 Error local: O(h3) Error total: O(h2)

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta K1 = hf(xn,yn)

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Métodos de Runge - Kutta

Método de Runge – Kutta orden 2 K1 = hf(xn,yn)

Método de Runge – Kutta orden 2 K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1)

Método de Runge – Kutta orden 2 K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1)

Método de Runge – Kutta orden 2 K1 = hf(xn,yn) K2 = hf(xn + h, yn + K1) Error local: O(h3) Error total: O(h2)

Interpretación geométrica y x

Interpretación geométrica y yn x xn

Interpretación geométrica y yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 K2 yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 K2 yn h x xn xn+1

Interpretación geométrica y K1 K2 yn yn+1 h x xn xn+1

Método de Runge – Kutta orden 4

Método de Runge – Kutta orden 4

Método de Runge – Kutta orden 4

Método de Runge – Kutta orden 4

Método de Runge – Kutta orden 4

Método de Runge – Kutta orden 4 Error local: O(h5) Error total: O(h4)

Estabilidad de RK2 Para la ecuación estable modelo el método RK2 es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2

Estabilidad de RK4 Para la ecuación estable modelo el método RK4 es estable siempre que se tome un paso h tal que hA < 2,785

Algoritmo RK2 Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Runge – Kutta orden 2 con paso h

Algoritmo RK2 Se desea resolver la E. D. y(x0) = y0 en el intervalo x0  x  xf por el método de Runge – Kutta orden 2 con paso h Datos: f, x0, y0, h, xf

Algoritmo n := 0

Algoritmo n := 0 do while xn  xf

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn)

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1)

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1)

Algoritmo n := 0 do while xn  xf (xn, yn) es un punto de la solución aproximada K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h

Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1

Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1 end

Algoritmo K1 := hf(xn,yn) K2 := hf(xn + h, yn + K1) xn+1 := xn + h n := n + 1 end Terminar

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp RK2: p = 2

Estimación del error yh: Solución para x con paso h y2h: Solución para x con paso 2h eh: Error total de yh e2h: Error total de y2h eh= K hp RK2: p = 2 RK4: p = 4

Ejemplo Resolver la ecuación diferencial: y(0) = 2.5 mediante el método RK4 con h = 0,1 en el intervalo [0, 3]. Estimar el error en x = 0, 1, 2 y 3

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Solución x yh y2h eh 2,5 1 0,939272 2 1,696874 3 2,814402

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Solución x yh y2h eh 2,5 2,5 1 0,939272 0,939345 2 1,696874 1,696972 3 2,814402 2,814338

Solución x yh y2h eh 2,5 2,5 1 0,939272 0,939345 - 0,000005 2 1,696874 1,696972 - 0,000007 3 2,814402 2,814338 - 0,000004

Problema de Cauchy de orden m

Problema de Cauchy de orden m

Problema de Cauchy de orden m condiciones iniciales

Problema de Cauchy de orden m Tantas ED como variables dependientes.

Problema de Cauchy de orden m Solo una variable independiente.

Problema de Cauchy de orden m Todas las ecuaciones son de primer orden.

Problema de Cauchy de orden m En la i-sima ED solo está la derivada de ui

Problema de Cauchy de orden m La derivada en cada ED está despejada.

Problema de Cauchy de orden m Para un cierto valor x0 se conoce todas las variables.

Ejemplo y(1) = 2 z(1) = 3

ED de orden m

ED de orden m

ED de orden m Condiciones iniciales

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Transformación de una ED

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

RK4 para un sistema de ED condiciones iniciales

Paso n Etapa 1: Calcular las K1

Paso n Etapa 1: Calcular las K1

Paso n Etapa 1: Calcular las K1

Paso n Etapa 1: Calcular las K1

Paso n Etapa 2: Calcular las K2

Paso n Etapa 2: Calcular las K2

Paso n Etapa 2: Calcular las K2

Paso n Etapa 2: Calcular las K2

Paso n Etapa 3: Calcular las K3

Paso n Etapa 3: Calcular las K3

Paso n Etapa 3: Calcular las K3

Paso n Etapa 3: Calcular las K3

Paso n Etapa 4: Calcular las K4

Paso n Etapa 4: Calcular las K4

Paso n Etapa 4: Calcular las K4

Paso n Etapa 4: Calcular las K4

Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

Paso n Etapa 5: Hallar la solución en xn+1

Algoritmo RK4 para sistemas Se desea resolver el sistema:

Algoritmo RK4 para sistemas Con condiciones iniciales: en el intervalo x0  x  xf por el método RK4 con paso h

Algoritmo RK4 para sistemas Datos: f1, f2,..., fm x0, xf, h, u10, u20,..., um0

Algoritmo RK4 para sistemas n := 0

Algoritmo RK4 para sistemas n := 0 do while xn  xf

Algoritmo RK4 para sistemas n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada.

Algoritmo RK4 para sistemas n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada. for i = 1 to m Calcular K1i end

Algoritmo RK4 para sistemas n := 0 do while xn  xf (xn, u1n, u2n ,..., umn) es un punto de la solución aproximada. for i = 1 to m Calcular K1i end for i = 1 to m Calcular K2i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K2i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K2i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K2i end for i = 1 to m Calcular K3i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K2i end for i = 1 to m Calcular K3i end for i = 1 to m Calcular K4i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1 end

Algoritmo RK4 para sistemas for i = 1 to m Calcular K4i end for i = 1 to m end xn+1 := xn + h n := n + 1 end Terminar

Bibliografía Texto: Secciones: 7.1, 7.2, 7.3 y 7.5

Ejercicios recomendados Sección 7.1: 13 al 20 Sección 7.2: 1, 3 y 7 Sección 7.3 3, 4 y 6 Sección 7.5 2, 4 y 10