Lic. Omar Sandoval Toral DERIVADAS Lic. Omar Sandoval Toral

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA Una primera definición simple de la derivada es: EL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE QUE TOCA UN PUNTO A LA GRÁFICA. Pero ¿qué significan estas palabras? Volvamos a analizar una gráfica ya conocida por ustedes

De este modo la expresión para la pendiente de la recta tangente es: 𝑚= lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Este límite es la definición original de la derivada, pero también es la manera antigua de calcular la derivada, actualmente se conocen formulas establecidas que facilitan estos cálculos.

EJEMPLOS: Hallar la derivada de las siguientes funciones. 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +3 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −8𝑥+9

REGLAS DE DERIVACIÓN Empecemos por la más sencilla de todas las funciones, la función constante f(x) = c, la gráfica de esta función es la recta horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0. 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 =0

Ahora se consideran las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , donde n es un entero positivo. Si n = 1 la gráfica de 𝑓 𝑥 =𝑥 es la recta y = x la cual tiene pendiente 1 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥)=1

¿Qué pasa cuando n es un numero diferente de uno ejemplo n = 2 y n = 3 ¿Qué pasa cuando n es un numero diferente de uno ejemplo n = 2 y n = 3? Ocupemos la definición de la derivada: 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Al observar los resultados nos damos cuenta que surge un patrón: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 =1; 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 =2𝑥; 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 =3 𝑥 2

REGLA DE LA POTENCIA: si n es cualquier número real, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 =𝑛 𝑥 𝑛−1 Ejemplo: derivar 𝑓 𝑥 = 𝑥 6 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2

La formula siguiente afirma que la derivada de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 =𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) Ejemplo: 𝑑 𝑑𝑥 3 𝑥 4 =3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 =3 4 𝑥 3 =12 𝑥 3

La regla siguiente nos dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Ejemplo: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 8 +12 𝑥 5 −4 𝑥 4 +10 𝑥 3 −6𝑥+5= 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 8 +12 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 5 −4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 +10 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 −6 𝑑 𝑑𝑥 𝑥+ 𝑑 𝑑𝑥 5= 8 𝑥 7 +60 𝑥 4 −16 𝑥 3 +30 𝑥 2 −6

Regla del producto y del cociente: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔(𝑥)] 𝑔(𝑥) 2 Ejemplo: 𝑓 𝑥 =𝑥 𝑒 𝑥 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓´ 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥−2 𝑥 3 +6

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS 𝒅 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 =𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 =−𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 =−𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙 =− 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙

REGLA DE LA CADENA La regla de la cadena se utiliza para derivar una función compuesta. Veamos un ejemplo: Sea F 𝑥 = (4 𝑥 3 +1) 2 encontrar la derivada. La función la podemos separar de la siguiente manera: F 𝑥 =(4 𝑥 3 +1)(4 𝑥 3 +1) y de esta manera podemos aplicar la regla del producto para la derivada. 𝐹´ 𝑥 = 4 𝑥 3 +1 12 𝑥 2 + 4 𝑥 3 +1 12 𝑥 2 = =2 4 𝑥 3 +1 12 𝑥 2 = =24 𝑥 2 (4 𝑥 3 +1)

Observe que F 𝑥 = (4 𝑥 3 +1) 2 es una función compuesta de las siguientes funciones: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ; 𝑦 𝑔 𝑥 =4 𝑥 3 +1 por lo tanto al derivar por separado estas funciones: 𝑓´ 𝑥 =2𝑥; 𝑦 𝑔´ 𝑥 =12 𝑥 2 , comparando el resultado anterior con estas derivadas observamos que el resultado es 𝐹´ 𝑥 =𝑓´ g x g´(x), sustituyendo los valores tenemos: 𝐹´ 𝑥 =2 4 𝑥 3 +1 12 𝑥 2

REGLA DE LA CADENA Si tanto f como g son funciones derivables y 𝐹=𝑓∘𝑔 es la función compuesta definida por 𝐹=𝑓(𝑔(𝑥)), entonces F es derivable y F´ se expresa mediante el producto: 𝐹´ 𝑥 =𝑓´ 𝑔 𝑥 𝑔´(𝑥) En algunos libros ocupan la notación de Leibniz: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥