3.1 AREAS

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

3.1.2 Área entre las graficas de funciones Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones. El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior. Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así: Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

Es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión. Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

3.1.2 Área entre dos funciones En este apartado vamos a analizar algún método que nos permita establecer el valor del área comprendida entre dos funciones f y g, graficadas en el mismo eje corrdenado. En el primer caso, y el más simple de analizar, sera el de dos funciones continuas. Dos funciones f(x) y g(x) (de las misma variable dependiente)

En el primer caso, y el más simple de analizar, será el de dos funciones continuas. Dos funciones f(x) y g(x) (de las misma variable dependiente) definidas con el mismo intervalo [a, b] y donde f(x) ≥ g(x) v x Є [a, b]. El método consiste en dividir el área desconocida que se desea determinar en n rectángulos iguales, de base Δx y cuya altura. En este caso ,será f(xi) – g(xi).

El valor aproximado del área A La suma de Rieman de los n rectángulos será: El valor aproximado del área A

Por su puesto el valor de A será será más´preciso cuanto mayor sea el numero de rectángulos que consideremos. Así,

Caso 2 En el área de la región limitada por las funciones continuas f(x) y g(x) en el intervalo cerrado [a, b] y en donde f(x) ≥ v x Є [a, b] estará definida por:

EJERCICIO: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 . SOLUCION: En primer lugar hallamos los puntos de corte para representar la curva y conocer los límites de integración.

SOLUCION: En segundo lugar se calcula la integral según la formula general.  

DESARROLLO: