COORDENADAS RECTANGULARES POLARES CILINDRICAS ESFERICAS.

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1 COORDENADAS RECTANGULARES POLARES CILINDRICAS ESFERICAS

2 CONCEPTOS En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una dupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica". Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

3 COORDENADA RECTANGULAR
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Las coordenadas cartesianas se usaron como un ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) X e Y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

4 COORDENADA POLAR Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia. Se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

5 Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:
De cartesianas a polares Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares? Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = r = √ ( ) r = √ ( ) = √ (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

6 Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2) θ = atan( y / x ) para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = r = √ ( ) r = √ ( ) = √ (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / 12 θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

7 COORDENADA CILINDRICA
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h) = (r, θ, z) Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera: X= r cos θ Y= r sen θ Z= z Conversión de Cartesianas a Polares Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtienen las siguientes expresiones: Z= Z

8 Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π]. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente): Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

9 o equivalentemente:

10 Punto representado en coordenadas cilíndricas

11 r = sen 2 θ r = sen 3 θ

12 ECUACIONES POLARES Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más complicado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardiode.

13 La ecuación general para una circunferencia con centro en (r0, φ) y radio a es
para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene: Líneas radiales: Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan  donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (0, φ) tiene la ecuación:

14 Rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de curvas de ecuación por asemejarse a una flor de pétalos. La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación:

15 COORDENADAS ESFERICAS
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.

16 Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice

17 Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas:
Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas: Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas:

18 COORDENADAS DE «n» DIMENSIONES
Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene:

19 BIBLIOGRAFIA