Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

Habilidades Resolver problemas de modelación resolviendo ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la separación de variables.

Ecuaciones diferenciales Trayectorias ortogonales Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que interseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que las rectas tangentes en los puntos de intersección son perpendiculares. Familias de trayectorias ortogonales

Ecuaciones diferenciales Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia están representadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la otra familia están representadas por y2’, luego: Procedimiento Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente en términos de x e y. Reemplácela en la ecuación anterior y luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la ecuación diferencial que se obtiene.

Ecuaciones diferenciales Mezclas Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad fija V, lleno con una solución completamente mezclada de una sustancia con una cantidad y0. Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón. c v V y0

Ecuaciones diferenciales Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instante t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae: Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv. Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x (volumen por unidad de tiempo) = . Ecuación diferencial que modela:

Ley de crecimiento natural Crecimiento poblacional Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial. Ecuación diferencial que modela: Función de crecimiento poblacional:

Ecuaciones diferenciales Desintegración radiactiva Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo. Ecuación diferencial que modela: Función de desintegración radiactiva:

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicios 9.3 y 9.4