DERIVADA IMPLICITA Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Es la derivada que se obtiene cuando la función viene dada de una manera implícita, es decir no es fácil expresar la variable DEPENDIENTE y, en función de la variable INDEPENDIENTE x. Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Ejemplo Las siguientes funciones vienen definidas en forma explicita 𝒚=𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑𝒙−𝟖 𝒇 𝒙 =𝟐 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 +𝟑𝒙−𝟖 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Ejemplo Las siguientes funciones vienen definidas en forma implícita 𝒙𝒚+𝑺𝒆𝒏 𝒙+𝒚 +𝑳𝒏 𝟑𝒙+𝟐𝒚 =𝟎 𝒚 𝒙 𝟐 +𝟑𝒙 𝒚 𝟑 −𝟖𝒙𝒚=𝟎 𝟑 𝒆 𝒙𝒚 +𝒙 𝒚 𝟑 +𝟐𝑳𝒏 𝟑𝒙+𝟐𝒚 =𝟎 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Para derivar este tipo de funciones Derivamos normalmente con respecto a la variable x, dejando la variable y como constante Derivamos con respecto a la variable y, dejando a x como constante, teniendo presente que a cada derivada con respecto a y, se le debe colocar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑜 𝑦 / , con el fin de diferenciarla de la derivada con respecto a x. Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Sacamos como factor común el termino 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑜 𝑦 / Despejamos 𝑑𝑦 𝑑𝑥

La derivada implícita tiene la siguiente forma (𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒙)+(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒚𝒐 𝒂 𝒙 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒚 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

2 𝑥 3 𝑦+4𝑥 𝑦 2 =8 EJEMPLO UNO: Calcule la derivada implícita de Cada termino lo derivamos tanto con respecto a x como con respecto a y 𝑑 𝑑𝑥 𝟐 𝒙 𝟑 𝑦 + 𝑑 𝑑𝑦 𝟐 𝑥 3 𝒚 + 𝑑 𝑑𝑥 𝟒𝒙 𝑦 2 + 𝑑 𝑑𝑦 𝟒𝑥 𝒚 𝟐 =0 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦+𝟐 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟒 𝑦 2 +𝟖𝑥𝒚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

Agrupamos términos 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦+𝟒 𝑦 2 + 𝟐 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟖𝑥𝒚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦+𝟒 𝑦 2 + 𝟐 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟖𝑥𝒚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 Factor común 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦+𝟒 𝑦 2 + 𝟐 𝑥 3 +𝟖𝑥𝒚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦+𝟒 𝑦 2 𝟐 𝑥 3 +𝟖𝑥𝒚 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

2 𝑥 3 𝑦 2 +4𝑥𝑦=0 EJEMPLO DOS : Calcule la derivada implícita de 2 𝑥 3 𝑦 2 +4𝑥𝑦=0 Cada termino lo derivamos tanto con respecto a x como con respecto a y 𝑑 𝑑𝑥 𝟐 𝒙 𝟑 𝑦 2 + 𝑑 𝑑𝑦 𝟐 𝑥 3 𝒚 𝟐 + 𝑑 𝑑𝑥 𝟒𝒙𝑦 + 𝑑 𝑑𝑦 𝟒𝑥𝒚 =0 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦 2 +𝟒 𝑥 3 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟒𝑦+𝟒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0

Agrupamos términos 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦 2 +𝟒𝑦 + 𝟒 𝑥 3 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = =0 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦 2 +𝟒𝑦 + 𝟒 𝑥 3 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝟒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = =0 Factor común 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦 2 +𝟒𝑦 + 𝟒 𝑥 3 𝑦+𝟒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝟔 𝒙 𝟐 𝑦 2 +𝟒𝑦 𝟒 𝑥 3 𝑦+𝟒𝑥 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

2 𝑥 2 𝑦+4𝑥 𝑦 2 =8 (𝟒𝒙𝒚+𝟒 𝒚 𝟐 )+(𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝒙𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 EJEMPLO TRES : Calcule la derivada implícita de 2 𝑥 2 𝑦+4𝑥 𝑦 2 =8 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 (𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒙)+(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 (𝟒𝒙𝒚+𝟒 𝒚 𝟐 )+(𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝒙𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝟒𝒙𝒚+𝟒 𝒚 𝟐 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖𝒙𝒚 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

(𝟒𝒙 𝒚 𝟐 +𝟑 𝒚 𝟐 +𝒚)+(𝟒 𝒙 𝟐 𝒚+𝟔𝒙𝒚+𝒙) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 EJEMPLO CUATRO: Calcule la derivada implícita de 2 𝑥 2 𝑦 2 +3𝑥 𝑦 2 +𝑥𝑦=0 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 (𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒙)+(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 (𝟒𝒙 𝒚 𝟐 +𝟑 𝒚 𝟐 +𝒚)+(𝟒 𝒙 𝟐 𝒚+𝟔𝒙𝒚+𝒙) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝟒𝒙 𝒚 𝟐 +𝟑 𝒚 𝟐 +𝒚 𝟒 𝒙 𝟐 𝒚+𝟔𝒙𝒚+𝒙 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

(𝟐𝒙 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒚𝑪𝒐𝒔(𝟑𝒙𝒚)+𝟏)+(𝟐 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙𝒚 −𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 EJEMPLO CINCO: Calcule la derivada implícita de 𝑥 2 𝑒 2𝑦 +𝑆𝑒𝑛 3𝑥𝑦 +𝑥−𝑦=0 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 (𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒙)+(𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 (𝟐𝒙 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒚𝑪𝒐𝒔(𝟑𝒙𝒚)+𝟏)+(𝟐 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙𝒚 −𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝟐𝒙 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒚𝑪𝟎𝒔 𝟑𝒙𝒚 +𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒚 +𝟑𝒙𝑪𝟎𝒔 𝟑𝒙𝒚 −𝟏 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2𝑦 +𝐶𝑜𝑠 4𝑥𝑦 =0 2 𝑥 3 𝑦 2 +5𝑥𝑦+ 𝑒 2𝑥𝑦 =4 Determine la derivada implícita para las siguientes funciones 𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2𝑦 +𝐶𝑜𝑠 4𝑥𝑦 =0 2 𝑥 3 𝑦 2 +5𝑥𝑦+ 𝑒 2𝑥𝑦 =4 4𝑥𝑦+2 𝑥 2 𝑦+4𝑥 𝑦 2 +𝑇𝑎𝑛 𝑥𝑦 =0 𝑇𝑎𝑛 −1 4𝑥𝑦 +𝐶𝑜𝑠 𝑥 2 𝑦 2 =4 Maestrante Daniel Sáenz Contreras

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