UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE Ley de Creación N° 29488 Resolución de Autorización N0 666-2013-CONAFU CARRERA PROFESIONAL DE: Contabilidad Administración Ingeniería de sistemas CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA Tema: SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Prof. Roger Díaz Villegas

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES CONTENIDO Axiomas de los números reales Definición del conjunto de números N, Z, Q e I. Intervalos Inecuaciones: Primer grado, segundo grado, polinómicas, fraccionarias, irracionales y exponenciales. Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto. TIEMPO: 20 horas pedagógicas.

HABILIDADES Al finalizar esta unidad, se espera que el estudiante adquiera las siguientes habilidades: Ubica en la línea recta los números reales. Identifica los números N, Z, Q e I. Identifica y verifica el conjunto de valores encontrados de ecuaciones e inecuaciones.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES REFLEXIONES TEÓRICAS Durante el estudio de los Conjuntos Numéricos, nos apoyamos en la representación gráfica de estos. Esta representación consiste en asociar a cada punto de una línea recta un número, creando así una Recta Numérica.

¿Qué necesitamos para construir una recta numérica? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ¿Qué necesitamos para construir una recta numérica? Lo primero que debemos definir es dónde se ubicará el CERO y luego la longitud del segmento unidad.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES El primer conjunto numérico que representamos fue el Conjunto de los Números Naturales.  

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas que no pueden ser resueltos sólo con los Números Naturales. Entonces, ampliamos este conjunto considerando la metáfora del Espejo y así asociamos a cada número natural un número negativo.  

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Continuando el estudio, nos volvimos a enfrentar con situaciones donde el conjunto numérico tratado, no era suficiente para resolver variados problemas.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES La estrategia entonces fue dividir el segmento unidad en partes iguales. Puede ser en : 2 3 4 5 O quizás 10, 20, 100, 1000… ¡el número de partes que se necesite!

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 2 partes

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 3 partes

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 4 partes

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 5 partes

¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números Racionales? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Todos estos números forman parte del conjunto de los Números Racionales.   ¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números Racionales?

¿Habremos finalizado la construcción de una recta numérica? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ¿Habremos finalizado la construcción de una recta numérica? ¿Todos los puntos de la recta tendrán asociado un número? Veamos el siguiente caso…

En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema: SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES En el año 530 a. C. existió una escuela en Grecia, dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y las ciencias naturales. Esta escuela era conocida por el nombre de su fundador como La Escuela Pitagórica. En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1?

¿Cuál crees que es el valor de x ? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Para determinar el valor de x ubicaremos el cuadrado sobre la recta numérica y también la diagonal: ¿Cuál crees que es el valor de x ?

¿Cuánto crees ahora que mide? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos tener una mejor aproximación. ¿Cuánto crees ahora que mide?

Ese punto en la recta no es nada menos que SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras ¡Exactamente! Ese punto en la recta no es nada menos que

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES En una calculadora, calcula ¿Qué valor obtuviste? Aquí te presentamos su valor con los primeros 65 decimales: = 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 … Y aun tiene más decimales …

Estos son los primeros 100 decimales de : SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES La letra  se lee ‘pi’ y representa el resultado de la pregunta anterior. ¿cuánto vale ? Estos son los primeros 100 decimales de :  = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 … Y aun tiene más decimales …

¿Qué características tienen en común estos dos números? SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ¿Qué características tienen en común estos dos números? ¿Notas alguna diferencia o similitud con los números del Conjunto de los Racionales? Y así como estos dos números, hay muchos más en la recta numérica. Podemos pensar así, Consideremos un número decimal que posee infinitos dígitos después de la coma. Si en estos dígitos se observa un periodo, entonces decimos que es el resultado de una división de dos números enteros y se puede expresa como una fracción. Hablamos de un Número Racional.

¿Podrías dar 2 ejemplos? Ejemplo: SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ¿Podrías dar 2 ejemplos? Por otra parte, si este desarrollo decimal no posee periodo, no se tratará de un cociente entre números enteros, es decir, no es un Número Racional. Este tipo de número recibe el nombre de Número Irracional.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ¿Podrías dar 2 ejemplos? Escríbelos

IR Conjunto de los Números Reales SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Finalmente, todos los problemas que has estudiado hasta el momento tienen solución en un solo gran conjunto en que se unen el Conjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los Números Irracionales y se conoce como Conjunto de los Números Reales IR

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada punto de ella un número real.

CONJUNTOS NUMÉRICOS A continuación los conjuntos numéricos: SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES CONJUNTOS NUMÉRICOS A continuación los conjuntos numéricos:  

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES DEFINICIÓN  

ADICIÓN MULTIPLICACIÓN SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMA ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Asociativa Conmutativa Elemento neutro Elemento inverso Distributiva De orden O1. O2. O3. O4. Del supremo “Todo subconjunto no vacío de R, acotado superiormente, posee supremo"

TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES MUCHAS GRACIAS

LOS INTERVALOS     + a -  b   + a -  b

  b a + -  b a + - 

  + a -  + a -  + a -  + a - 

< -7, 0 > Desigualdad Intervalo Se lee: Intervalo Cerrado en -5 y cerrado en 5 < -7, 0 > Cerrado por la derecha en 2,9

OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R. Hallar: a) A  B b) B  A c) A - B d) A e) (A  C) - B f) ( A  B)  C Solución: Practica con los ítems c, d, e y f.  

Inecuaciones de primer grado en una variable   Inecuaciones de primer grado en una variable   +   - 

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO   ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c = 0

  -

Métodos para resolver una Inecuación Cuadrática  

Métodos para resolver una Inecuación Cuadrática