Conjuntos numéricos: N, Z y Q

Presentación del tema: "Conjuntos numéricos: N, Z y Q"— Transcripción de la presentación:

1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q
1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q Introducción a N, Z y Q Tipos de fracciones Representación gráfica de los números racionales Fracciones equivalentes Orden en Q Operaciones con números racionales Expresión decimal de un número racional Expresión racional de un número decimal Uso del paréntesis y jerarquía de las operaciones Índice del libro

2 Q = {a/b con a, b ∈ Z, siendo b ≠ 0}
1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 1. Introducción a N, Z y Q El hombre desde el principio sintió la necesidad de contar (ovejas, soldados de un ejército…). Así surge el conjunto N de los números naturales, que se define como el conjunto: N = {1, 2, 3, 4, 5...} Sin embargo, en el mundo occidental, se utilizó el signo negativo para indicar dichos números. Surge un nuevo conjunto de números, a los que llamamos números enteros, y se define como el conjunto: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} El conjunto de números que resulta de la ampliación de Z es el conjunto de los números racionales y se representa por: Q = {a/b con a, b ∈ Z, siendo b ≠ 0}

3 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 2. Tipos de fracciones
Fracción propia: es aquella cuyo numerador es menor que el denominador y que, al efectuar el cociente, resulta un número menor que la unidad. Fracción impropia: es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad. Fracción decimal: es una fracción en la que el denominador es 100 o una de sus potencias.

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3. Representación gráfica de los números racionales Para representar los números racionales, consideraremos una recta horizontal sobre la que indicaremos los números enteros; el punto 0 será el origen. Para representar la fracción propia 2/3, dividiremos la unidad de longitud en 3 partes iguales y tomaremos 2.

5 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 4. Fracciones equivalentes
Para simplificar una fracción, dividiremos numerador y denominador por su máximo común divisor. Cuando una fracción no se pueda reducir más, diremos que es irreducible. La fracción a/b es irreducible si y solo si mcd (a, b) = 1.

6 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 5. Orden en Q
Establecemos en Q la siguiente relación de orden: De esta forma una relación de orden en Q, se transforma en una relación de orden en Z.

7 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales
Fracciones con el mismo denominador: Fracciones con distinto denominador:

8 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales
Opuesto de una fracción: Producto de dos fracciones:

9 1 Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales
Inversa de una fracción: División de dos fracciones:

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7. Expresión decimal de un número racional Si efectuamos las divisiones correspondientes de un número racional, obtenemos números decimales: En este tipo de números podemos distinguir dos partes: Parte entera: las cifras que se encuentran a la izquierda de la coma. Parte decimal: las cifras que se encuentran a la derecha de la coma.

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7. Expresión decimal de un número racional Los números decimales que resultan de dividir fracciones son de los siguientes tipos: Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es finito. Decimal periódico puro: cuando la parte decimal está formada por un conjunto de cifras decimales que se repite infinitas veces. A este conjunto de cifras lo llamaremos periodo. Decimal periódico mixto: cuando el número tiene un periodo que se repite infinitas veces, pero entre dicho periodo y la coma existe una cifra o grupo de cifras llamada anteperiodo.

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8. Expresión racional de un número decimal Decimales exactos: Para expresar un número decimal exacto como una fracción, escribimos en el numerador el número decimal sin comas y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya. Decimales periódicos puros: Consideremos N = 0,444… Multiplicamos N por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos N:

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8. Expresión racional de un número decimal Decimales periódicos mixtos: Consideremos N = 9, Multiplicamos N por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo para obtener un número periódico puro: 10N = 91,666... Y ahora procedemos como lo hacemos para expresar un número periódico puro en forma de fracción. Multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos el número periódico puro, en este caso 10N:

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9. Uso del paréntesis y jerarquía de las operaciones La jerarquía de las operaciones es la siguiente: 1. Corchetes y Paréntesis 2. Multiplicación y división, misma jerarquía 3. Suma y resta, misma jeraquía. Las operaciones se realizarán de izquierda a derecha, respetando la jerarquía señalada.