Funciones Racionales

Prerrequisitos Hallar el dominio de una función. Escribir la ecuación de una recta vertical y de una recta horizontal. Resolver ecuaciones racionales. Resolver ecuaciones cuadráticas. Dividir polinomios.

Objetivos Hallar las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de una función racional. Trazar la gráfica de una función racional. Reconocer puntos de discontinuidad.

Estudiaremos otro tipo de función llamada función racional Estudiaremos otro tipo de función llamada función racional. ¿Recuerdan qué quiere decir un número racional? Una función racional es de la forma donde P(x) representa un polinomio, un monomio o una constante y Q(x) representa una expresión con una variable Asimismo, Q(x) ≠ 0. Es decir, el denominador NO puede ser cero.  

Ejemplos de Funciones Racionales Las siguientes son funciones racionales Estas NO son funciones racionales

¿Dónde se usan las funciones racionales? Suponga que el costo anual en electricidad de una nevera es de $264 y el costo de comprar una nevera nueva es de $1200. ¿Cuál será la función que nos calcula el costo anual de la nevera como función del número de años que uno tiene la nevera?

Características de las funciones racionales: 1.  La gráfica de estas funciones generalmente no son contínuas. 2.  El dominio en muchas ocasiones tiene restriciones. A continuacion vamos a trazar la gráfica de una función racional para observar cómo son estas gráficas y cuáles son sus características. Gráfica NO es contínua. En el domino No se encuentra el 0.

Trazar la gráfica de x y 10 1/10 2 1/2 1/100 100 -1/10 -10 -1/2 -2 La tabla de valores es: x y 10 1/10 2 1/2 1/100 100 -1/10 -10 -1/2 -2 El dominio de f son , es decir {x | x  0}. O sea ,si construimos una tabla de valores para esta función podemos elegir cualquier número excepto el cero. Note que lo cual implica que la función es impar, por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al origen.

Observemos la tabla con detenimiento x y 10 1/10 2 1/2 1/100 100 -1/10 -10 -1/2 -2 Note que si seleccionamos números positivos pequeños para x el valor de y aumenta. Esto quiere decir que a medida que x tiende a cero (es decir a números pequeñísimos por la derecha) el valor de y se hace muy muy grande. Esto lo podemos expresar en símbolos de la siguiente manera: Se lee x tiende a cero por la derecha

Observaciones x y 10 1/10 2 1/2 1/100 100 -1/10 -10 -1/2 -2 De la misma forma observamos que si seleccionamos números negativos cercanos a cero el valor de y se hace negativo. Esto lo podemos expresar en símbolos de la siguiente manera: Si entonces Se lee si x tiende a 0 por la izquierda entonces y tiende a negativo infinito

Observaciones x y 10 1/10 2 1/2 1/100 100 -1/10 -10 -1/2 -2 También de la tabla podemos observar que a medida que x aumenta, la y disminuye. Esto lo podemos expresar en símbolos: Finalmente notamos que si la variable x asume valores negativos que se alejan del 0, la variable y disminuye. Esto se expresa: Si entonces Se lee: si x tiende a negativo infinito entonces y tiende a 0

Note que si la x asume valores cercanos al cero entonces la y asume valores positivos grandes Vea las rectas entrecortadas rojas La gráfica es: Note que si la x tiende a negativo infinito la y se acerca a 0. Vea recta rojas.

Asíntotas Estudiaremos el concepto de asíntota el cual nos ayudará para trazar la gráfica de una función racional. Las asíntotas son rectas y por lo tanto, pueden ser horizontales, verticales u oblicuas. Recuerde que la ecuación de una recta vertical es x = k y la ecuación de una recta horizontal es y = k.

Asíntota Vertical en una gráfica Observe que la gráfica no es continua. Que a medida que nos acercamos a 2 por la derecha o por la izquierda los valores de la y se hacen bien grandes. Decimos que la recta x = 2 es una asíntota vertical para esa función. Asíntota vertical es la recta x = 2 1 3 2

Asíntotas Verticales:Definición Si está en su forma más simple entonces la recta vertical x = a se llama una asíntota vertical para la gráfica de la función racional: Decimos que la gráfica de en su forma más simple, tiene una asíntota vertical en x=a, si Q(a)=0. O sea, que las asíntotas verticales las localizamos en aquellos valores que hacen cero el denominador. En el ejemplo , note que si x = 0, el denominador es cero. En ese valor encontramos una asíntota vertical. Recuerde el formato de la función racional

Asíntota Horizontal en una gráfica Observe que a medida que los valores de x se hacen grandes el valor de la y tiende a 1. También si los valores de x tienden a negativo infinito la y se acerca a 1. Decimos que la recta y = 1 es una asíntota horizontal para esa función. Asíntota horizontal es la recta y = 1 1 1 3 2

Asíntotas Horizontales: Definición: Sea en su forma más simple, la recta y = k es una asíntota horizontal para la gráfica de f si: Sea Si n < p entonces la gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y = 0. Si n = p entonces las gráfica de f tiene una asíntota horizontal en Si n > p la gráfica de f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo En el ejemplo note que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto tiene asíntota en y = 0.

Ejemplo:Trace la gráfica de 1. El dominio es R- {-3} o {x | x  -3} 2. Intercepto en y es el par (0,-1/3) pues f(0) = 3. Intercepto en x es el par ( 1, 0 ). Se halla al resolver la ecuación: 4. La asíntota vertical es x = -3 5. La asíntota horizontal es y = 1

Asíntota horizontal y = 1 Gráfica Asíntota vertical x =-3 Gráfica no continua Asíntota horizontal y = 1 Intercepto en y, (0,-1/3)

Trace la gráfica de: 1. Dominio son R – {4,-1} o {x |x  4, x -1} 2. Intercepto en x: (0, 0) 3. Intercepto en y: (0, 0) 4. Asíntota vertical en x = -1 y en x = 4 5. Asíntota horizontal en y = 0 Resuelva la ecuación cuadrática del denominador. Halle f(0) Resuelva la ecuación El grado del numerador es más pequeño que el grado del denominador

Se buscaron otros puntos para trazar la gráfica . Asíntota vertical x = -1 Gráfica Asíntota vertical x = 4 Se buscaron otros puntos para trazar la gráfica . Asíntota horizontal Y = 0

Ejercicio verbal La siguiente función describe la concentración de una droga en el torrente sanguíneo en función del tiempo. El medicamento se tomó en forma oral. C se mide en microgramos por mililitro y el tiempo se mide en minutos.

Preguntas ¿Cuáles son las asíntotas? Trace la gráfica durante las dos primeras horas después de administrar el medicamento Describa la gráfica en el contexto del ejercicio Determine la concentración máxima del medicamento en el cuerpo ¿En qué tiempo ocurre esta concentración máxima?

Preguntas ¿Qué ocurre después de llegar a la concentración máxima? ¿Cuál es el significado de la asíntota?

Gráfica

Trace la gráfica de : El dominio son los R – {-5} o {x|x  -5}.       Observe que esta función no está en su mínima expresión así que lo primero que hacemos después de buscar el dominio es SIMPLIFICARLA. Note que la función simplificada es f(x) = x – 5. Esta función la reconocemos como una función lineal, así que su gráfica es una recta que tiene un punto de discontinuidad en (-5, -10). ¿Porqué?

Observaciones del ejemplo anterior Recuerde que para tener asíntotas tiene que estar simplificada la función. Al simplificar esta función obtenemos una función lineal, cuya gráfica es una línea, pero a la cual le falta un par ordenado pues eliminamos del dominio el –5. Note que si sustituimos el –5 en la última expresiónobtenemos –10. Por lo tanto el par ordenado que se elimina es (-5,-10).

Punto de discontinuidad Gráfica de Punto de discontinuidad

Asíntotas Oblicuas Hay funciones que poseen asíntotas oblicuas, es decir, rectas que no son ni verticales ni horizontales, o sea, que tienen la forma y = ax + b. Algunas funciones racionales se acercan a estas rectas a medida que . Para saber cuándo una función tiene asíntotas oblicuas tenemos que observar el grado del polinomio que está en el denominador. Si el grado del polinomio que está en el numerador es uno más que el grado del polinomio que está en el denominador entonces la gráfica de la función posee una asíntota oblicua.

Ejemplo: 1. El dominio de la función son R-{2} o {x| x  2} 2. Asíntota vertical en x = 2 3.No hay asíntota horizontal 4. Intercepto en y: (0,-1/2) 5.Intercepto en x: No tiene 6. Asíntota oblicua en y = x + 2

Cómo obtener la asíntota oblicua de Recuerde que para tener asíntota oblicua el grado del numerador debe ser uno más que el grado del denominador. Dividimos el numerador entre el denominador Algoritmo de división

Observaciones Observe que si x   o x  - esta parte de la función se hace pequeña y por lo tanto tiende a cero. Eso implica que para valores grandes que asume la variable x, la función se aproxima a la recta y = x + 2. Observe que si x o x  - esta parte de la función se hace pequeña y tiende a cero. Por lo tanto, la funció en el infinito se acerca a la recta y = x + 2

Gráfica de Asíntota vertical x = 2 Asíntota oblicua y = x+2 Intercepto en y (0,-1/2)

Recuerda hacer los ejercicios! Fin