Unidad 6. Capítulo VI. La ecuación y los polinomios de legendre.

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Varios problemas de la física y la ingeniería requieren de una geometría esférica y su modelo corresponde con la ecuación de Legendre (Adrien M. Legendre, 1752-1833). La ecuación es: donde a es una constante y su solución se llama función de Legendre de orden a. Si a  N, tales funciones se reducen a los denominados polinomios de Legendre usados en la representación polinomial de funciones y en el método de cuadratura gaussiana (por su comportamiento en 1 ≤ x ≤ 1).

El siguiente ejemplo explica la solución de la ecuación de Legendre. U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. El siguiente ejemplo explica la solución de la ecuación de Legendre. Ejemplo: Encuentre una solución de serie de potencias de la ecuación de Legendre alrededor del origen, x0 = 0. Solución: Ésta es una ecuación lineal homogénea de 2° orden con coeficientes variables y puede expresarse en su forma estándar dividiéndola entre 1  x2:

Suponiendo una solución de serie de potencias de la forma: U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. entonces: El denominador de P(x) y Q(x) se anula en x = 1; así que x = 1 y x = 1 son puntos singulares, luego, una solución alrededor de x0 = 0 convergirá en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1 y tendrá un radio de convergencia mínimo de 1. Suponiendo una solución de serie de potencias de la forma: Derivando dos veces y sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial se tiene:

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Al desplazar el índice de la 1ª suma y sustituir k por k + 2 e iniciando las sumas en 0 en lugar de 1 o 2 (no afecta). o

de esta relación se obtienen los demás coeficientes en la forma: U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Esta ecuación se satiface para toda x si y sólo todos los coeficientes son cero, condición que produce la relación de recurrencia para los coeficientes de expansión ak+2: de esta relación se obtienen los demás coeficientes en la forma:

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Sustituyendo los coeficientes en la solución con a0 y a1 como factores comunes se tiene:

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Generalizando los coeficientes para los términos pares e impares, la solución puede expresarse en la forma: Las dos soluciones linealmente independientes y1 y y2 de la ecuación de Legendre son los términos entre corchetes. Observe que ésta es válida para x  (−1, 1) y se puede probar que ambas series divergen en los puntos extremos.

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Cuando a = n  N, las soluciones y1(x) y y2(x) de la ecuación de Legendre pueden escribirse en la forma: y Note que, cuando n sea un número par, y1(x) se reducirá a un polinomio de grado n, ya que el factor n − 2k + 2 es cero cuando k = n/2 + 1, y los términos correspondientes a valores mayores del índice k contendrán este factor.

Por ejemplo, cuando n sea 0, 2 y 4, y1(x) se reducirá a: U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Por ejemplo, cuando n sea 0, 2 y 4, y1(x) se reducirá a: De forma análoga, cuando n sea un numero impar, la 2ª solución y2(x) se reducirá a un polinomio de grado n, ya que el factor n  2k + 1 será cero cuando k = (n + 1)/2, y todos los términos correspondientes a valores mayores del índice k contendrán este factor.

Por ejemplo, cuando n sea 1, 3 y 5, y2(x) se reducirá a: U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Por ejemplo, cuando n sea 1, 3 y 5, y2(x) se reducirá a: Así, cuando a es un entero positivo, una de las soluciones de la ecuación de Legendre se reduce a un polinomio de grado n. Cuando estos polinomios se multiplican por una constante apropiada, se denominan polinomios de Legendre de orden n y se identifican como Pn(x).

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Esta constante se selecciona de manera que el coeficiente de la potencia mas alta de x en P(x) sea igual a: de modo que Pn(1) = 1 para todos los valores de n. Los coeficientes de las otras potencias de x se determinan por medio de la relación de recurrencia, reemplazando a por n. Donde n es el orden del polinomio de Legendre y k es el índice de suma. Para k = n, se obtiene:

Generalizando para k = n  2j: U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. y para k = n  2: es decir: Generalizando para k = n  2j:

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Entonces el polinomio de Legendre de orden n puede expresarse en la forma: donde N es el mayor entero menor o igual a n/2. Es decir, N = n/2 cuando n es par, y N = (n  1)/2 cuando es impar. Note que los polinomios de Legendre de orden par (P2, P4, ) incluyen potencias pares de x mientras que los de orden impar (P3, P5, ) incluyen potencias impares de x.

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre. Los primeros seis polinomios de Legendre, expresados en forma explícita, son: En la siguiente figura se muestra una gráfica de los polinomios de Legendre.

U-6. Cap. VI. Ecuación y polinomios de Legendre.