1.4 ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN: HORIZONTALES, VERTICALES E INCLINADAS. DR. VÍCTOR MORÁN CÁCERES MSC.

ASÍNTOTAS

Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas. Las asíntotas de una función pueden ser: VerticalesHorizontalesOblicuas

Tipos de asíntotas x = c y x Asíntotas Verticales x = c y x

Tipos de asíntotas y = L y = f(x) y x y = L y = f(x) y x Asíntotas Horizontales

Tipos de asíntotas Asíntotas Oblicuas y x y = ax + b

ASINTOTAS VERTICALES Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Son límites de las funciones. Asíntotas Verticales: Nos indican a que tiende la función cuando la x no está definida, son rectas paralelas al eje OY. Se escriben x = valor de la asíntota horizontal. El número máximo de asíntotas verticales que puede tener una función es dos.

Asíntotas verticales La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Ejemplo: La recta x = 2 es una asíntota vertical

ASÍNTOTAS HORIZONTALES Asíntotas Horizontales: Nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o muy pequeña, son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y = valor de la asíntota horizontal. Las funciones racionales tienen asíntota horizontal cuando el numerador y el denominador son del mismo grado y cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerador. Para saber si la función tiende a uno por arriba o por abajo damos valores "grande y pequeño" a x,

Asíntotas horizontales La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Ejemplo: La recta y = 2 es una asíntota horizontal

ASÍNTOTAS OBLICUAS Asíntotas oblicuas: una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede haber de las otras. Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador tiene asíntota oblicua. Hay una asíntota oblicua. Calculamos su ecuación Ecuación: y = x - 1 (para representarla damos valores)

Asíntotas oblicuas La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: a) b) Ejemplo: La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua

Asíntotas de funciones racionales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador. Asíntotas Verticales

Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales Dada la función Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador: 2 + 2x = 0  x = -1 La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función. Asíntota vertical x = -1

Primero simplicamos la función. La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0. x – 3 = 0  x = 3 La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función. Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales

El denominador es igual a 0 cuando x + 2 = 0  x = -2 o x - 3 = 0  x = 3 Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3 Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales

Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):  El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.  El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3). La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.

Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal. La recta y = 6 / 5 es la asíntota horizontal.

Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Asíntotas oblicuas Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.

Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2). La recta y = x + 3 es asíntota oblicua

Problemas Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones: Vertical: x = -2 Horizontal : y = 1 Oblicua: no tiene Vertical: x = 3 Horizontal : no tiene Oblicua: y = 2x +11