@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 OTRAS GRÁFICAS TEMA 13.7a * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 OTRAS GRÁFICAS TEMA 13.7a * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 Ejemplo_1 Sea la función y = 3 –x2 CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = 3 –0 = 1Pc ( 0, 1) Corte con el eje OX: f(x) = 0  0 = 3 –x2  No hay cortes. SIMETRÍAS f(x) = 3 –x2 f( - x) = 3 – (–-x)2 = 3 –x2 Vemos presenta simetría PAR. f(x) = 3 –x2 - f( - x) = – 3 –x2 Vemos que no presenta una simetría IMPAR.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 MONOTONÍA Sea la función y = 3 –x2 Hallamos la primera derivada: ln y = - x 2. ln 3  y’ / y = - 2.x ln3  y ‘ = - 2.x. ln 3. 3 –x2 Igualamos a cero para hallar los intervalos: - 2.x ln 3.3 –x2 = 0  x = 0 Los intervalos son (-oo, 0) y (0, +oo) f ‘ (-1) = - 2.(-1) ln 3.3 –(- 1)2 = 2. ln 3. 1/3 > 0 La función es CRECIENTE en (-oo, 0). f ‘ (1) = - 2.(1) ln 3.3 –(1)2 = - 2. ln 3. 1/3 < 0 La función es DECRECIENTE en (0, +oo). MAXIMOS Y MÍNIMOS y ‘ = - 2.x ln 3.3 –x2 = 0  x = 0 es el único punto posible máx o mín. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = - 2.ln 3. 3 –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 f ”(0) = - 2. 0,4771 + 0 < 0, entonces f tiene en x=0 un MÁXIMO RELATIVO.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 CURVATURA Sea la función: y = 3 –x2 La primera derivada: y ‘ = - 2.x ln 3.3 –x2 La segunda derivada: y ‘’ = - 2.ln 3. 3 –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = - 2.ln 3. 3 –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 2.ln 3. 3 –x2 = 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 1 = x.2.x ln 3  x 2 = 1 / 2.ln3  x = ± 0,4551 Los intervalos de curvatura son: (-oo, - 0,4551), (- 0,4551, + 0,4551) y ( 0,4551, +oo) f “ (-1) = - 2.ln 3. 3 –(-1)2 + 2.(-1) ln 3. 2.(-1) ln 3.3 –(-1)2 = = - 0,66. 0,4771 + 1,33. 0,4771.0,4771 > 0  Cóncava en (- oo, - 0,4551) f “ (0) = - 2.ln 3. 3 –02 + 2.0. ln 3. 2.0. ln 3.3 – 02 = - 2.ln 3 < 0  Convexa en (- oo, - 0,4551) f “ (1) = - 2.ln 3. 3 –(1)2 + 2.(1) ln 3. 2.(1) ln 3.3 –(1)2 = = - 0,66. 0,4771 + 1,33. 0,4771.0,4771 > 0  Cóncava en (- oo, - 0,4551)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 PUNTOS DE INFLEXIÓN Sea la función: y = 3 –x2 La primera derivada:y ‘ = - 2.x ln 3.3 –x2 La segunda derivada:y ‘’ = - 2.ln 3. 3 –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = - 2.ln 3. 3 –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 2.ln 3. 3 –x2 = 2.x ln 3. 2.x ln 3.3 –x2 1 = x.2.x ln 3  x 2 = 1 / 2.ln3  x = ± 0,4551 Hallamos las ordenadas de dichos puntos: y = 3 – (0,4551)2 = 0,3671 Los puntos de Inflexión son: PI(-0,4551, 0,3671) y PI(0,4551, 0,3671) ASÍNTOTAS La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si: Lím 3 –x2 = 3 –oo = 0 x  ± oo Luego y = 0 es la asíntota horizontal.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 1 0,45-45 PI Máx 0 0,37 Gráfica Ejemplo_1

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Ejemplo_2 Sea la función y = log (x 2 – 1) CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = log (0 – 1) = No existe corte con OY Corte con el eje OX: f (x) = 0  0 = log (x 2 – 1)  10 0 = (x 2 – 1)  1 = x 2 – 1 2 = x 2  x = ± √2  Pc (- √2, 0) y Pc (√2, 0) SIMETRÍAS f(x) = log (x 2 – 1) f( - x) = log ((- x) 2 – 1) Vemos presenta simetría PAR. f(x) = log (x 2 – 1) - f( - x) = – log ((- x) 2 – 1) Vemos que no presenta una simetría IMPAR.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 DOMINIO DE DEFINICIÓN Sea la función y = log (x 2 – 1) Dom f(x) = {Vx / (x 2 – 1) > 0} = R – [– 1, +1] MONOTONÍA Sea la función y = log (x 2 – 1) Hallamos la primera derivada: 10 y = (x 2 – 1)  y.ln 10 = ln (x 2 – 1)  y ‘ = 2.x / (x 2 – 1) ln 10 Igualamos a cero para hallar los intervalos: 2.x = 0  x = 0 Los intervalos son (-oo, -1) y (1, +oo) f ‘ (- 2) = = 2.(-2) / ((-2) 2 – 1) ln 10 = - 4 / 3. ln 10 < 0 La función es DECRECIENTE en (-oo, -1). f ‘ (2) = = 2.2 / (2 2 – 1) ln 10 = 4 / 3. ln 10 > 0 La función es CRECIENTE en (0, +oo).

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 MAXIMOS Y MÍNIMOS Sea la función y = log (x 2 – 1) Hallamos la primera derivada: y ‘ = 2.x / (x 2 – 1) ln 10 Igualamos a cero: 2.x = 0  x = 0 es el posible máximo o mín. Pero como x=0 no pertenece al dominio, no hay máximos ni mínimos. CURVATURA Sea la función y = log (x 2 – 1) La primera derivada: y ‘ = 2.x / (x 2 – 1) ln 10 La segunda derivada: y ‘‘ = [(2.(x 2 – 1) – 2.x.2.x ] / (x 2 – 1) 2 ln 10 Operando: y ‘‘ = [2x 2 – 2 – 4.x 2 ] / (x 2 – 1) 2 ln 10 y ‘‘ = [– 2 – 2.x 2 ] / (x 2 – 1) 2 ln 10 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = – 2 – 2.x 2  x 2 = – 1  No existen Puntos Inflexión. El intervalo de curvatura es R – [-1, 1], el dominio. y ‘‘ (3) = [– 2 – 2.3 2 ] / (3 2 – 1) 2 ln 10 = - 20 / 64.ln 10 < 0 La curva es convexa en todo su dominio.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 - 3 - 2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 x0 Gráfica Ejemplo_2 x y -3 log 8 -2 log 3 -1 -oo x y 3 log 8 2 log 3 1 -oo 1