CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Derivada Parcial, Plano Tangente y Recta Normal a una superficie

La proyección acimutal o proyección cenital, es la que se consigue proyectando una porción de la Tierra sobre un plano tangente a la esfera en un punto seleccionado, obteniéndose la visión que se lograría ya sea desde el centro de la Tierra o desde un punto del espacio exterior. ¿Cómo calcular la ecuación del plano acimutal en un determinado punto terrestre?

Responda las siguientes preguntas: ¿ Cómo se define la derivada de una función real de variable real? ¿Qué interpretaciones tiene la derivada de una función real de variable real? ¿Cómo se define las derivadas parciales de una función real de dos variables reales?

Calcula cada una de las derivadas parciales en un determinado punto de la superficie terrestre e interprete los resultados. Sean T x y T y las primeras derivadas parciales de la función temperatura T(x,y). La temperatura en un determinado lugar se representa por: T(x,y)=20-x 2 y+xy 3 x y ANÁLISIS DE TEMPERATURAS

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de las derivadas parciales, e interpretando su resultado con las propiedades físicas, de forma coherente.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z=f ( x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las funciones f x y f y definidas por: Siempre y cuando el límite exista y sea finito. NOTACIÓN: Si z = f (x,y), entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, respectivamente, en las formas siguientes:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL Consideremos: 1)La superficie S con ecuación es z = f(x, y). 2)El plano y = y 0 y=y 0 x0x0 y0y0 P(x 0, y 0, z 0 ) Respecto a X La Curva: C 1 =Plano  Superficie La pendiente de la Recta Tangente a C 1 en el punto P(x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) es dado por:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL Consideremos: 1)La superficie S con ecuación es z = f(x, y). 2)El plano x = x 0 Respecto a Y La Curva: C 2 =Plano  Superficie La pendiente de la Recta Tangente a C 2 en el punto P(x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) es dado por: x=x 0 x0x0 y0y0 P(x 0, y 0, z 0 )

REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE z = f (x,y).  Para determinar f x, conservar a y constante y derivar de manera ordinaria f (x,y) con respecto a x.  Para determinar f y, conservar a x constante y derivar de manera ordinaria f (x,y) con respecto a y. Ejemplo 1. Dada la función z definida por. Hallar f x y f y. Solución:

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Se llama derivada parcial de segundo orden de una función f a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden. Si z = f(x, y) es una función de dos variables hay 4 derivadas parciales de segundo orden:

Ejemplo 2. Calcule las segundas derivadas parciales de Solución: Las primeras derivadas parciales son De donde obtenemos que: Teorema: Igualdad de las Derivadas Parciales mixtas R R Si f es una función de x y y tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo (x,y) en R, f xy (x,y) = f yx (x,y)

Dada la superficie S, con ecuación z = f (x, y), cuyas derivadas parciales son continuas. Si P(x 0, y 0, z 0 ) es un punto sobre S, el plano tangente a S en P está formado por todas las rectas tangentes en P a las curvas que están sobre S y que pasan por P. PLANO TANGENTE La ecuación de este plano tangente es: z – z 0 = f x (x 0, y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y − y 0 ) Donde: S está dada implícitamente por F(x, y, z) = 0, F x (P)(x − x o ) + F y (P)(y − y o ) + F z (P)(z − z o ) = 0 Explícita Implícita

z – z 0 = f x (x 0, y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y − y 0 ) Ejemplo. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z =f(x,y)= 4 – x 2 – y 2 en el punto P(0,1,3). Solución: La ecuación del plano tangente es: z – 3 = f x (0, 1 )(x − 0 ) + f y (0, 1 )(y − 1 ) z – 3 = (0)(x − 0 ) + (− 2)(y − 1 ) Donde: z = − 2y +5

(x 0,y 0 ) LNLN x0x0 y0y0 RECTA NORMAL Se llama recta normal (L N ) a una superficie S con ecuación z = f (x, y), a la recta que pasa por el punto P(x 0, y 0, z 0 ) y es perpendicular al plano tangente. Vectorial Simétrica

REFLEXIONANDO SOBRE LO APRENDIDO ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando las derivadas parciales? ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios y problemas? ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?, ¿Qué he aprendido en esta sesión?

# CÓDIGOAUTORTÍTULO EDITORIAL THOM 2007 THOMAS Calculo en Varias Variables CLA PITA 2009 CLAUDIO PITA. Cálculo Vectorial LARS 2008 LARSON, RON Cálculo II BIBLIOGRAFÍA