Sea f(x) una función acotada en [a, b]. INTEGRAL DEFINIDA Sea f(x) una función acotada en [a, b]. Queremos halla el área comprendida entre la curva y = f(x), las rectas x = a, x = b y el eje OX. y = f(x) x = b x = a OX a b Queremos calcular el valor del área del recinto rayado de la figura. Este valor lo representaremos A.(A será el número de cuadraditos de lado unidad que caben en la parte rayada de la figura)

PARTICION DE UN INTERVALO [a, b] Una partición P de un intervalo [a, b] es un conjunto de puntos... y = f(x) x = a x = b OX a = x0 a x1 x2 x3 x4 xi xn-1 xn = b b P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }, tal que a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < ...<xn-1 < xn = b.

Suma inferior de la función f para la partición P. I(f, P) Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P = {a = x0, x1, x2, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b m2 m1 m3 m4 OX a = x0 x1 x2 x3 x4 = b En el intervalo [x0 , x1] se tiene m1 = min{f(xi) | xi  [x0 , x1] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x1 – x0, y de altura m1. En el intervalo [x1 , x2] se tiene m2 = min{f(xi) | xi  [x1 , x2] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x2 – x1, y de altura m2. En el intervalo [x2 , x3] se tiene m3 = min{f(xi) | xi  [x2 , x3] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x3 – x2, y de altura m3. En el intervalo [x3 , x4] se tiene m4 = min{f(xi) | xi  [x3 , x4] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x4 – x3, y de altura m4. I(f, P) = m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1)+ m3(x3 - x2) + m4(x4 - x3) =

Suma inferior de la función f para la partición P. I(f, P) Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P = {a = x0, x1, x2, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b m2 m1 m3 m4 OX a = x0 x1 x2 x3 x4 = b En el intervalo [x3 , x4] se tiene m4 = min{f(xi) | xi  [x3 , x4] } En el intervalo [x0 , x1] se tiene m1 = min{f(xi) | xi  [x0 , x1] } En el intervalo [x2 , x3] se tiene m3 = min{f(xi) | xi  [x2 , x3] } En el intervalo [x1 , x2] se tiene m2 = min{f(xi) | xi  [x1 , x2] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x4 – x3, y de altura m4. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x2 – x1, y de altura m2. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x3 – x2, y de altura m3. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x1 – x0, y de altura m1. I(f, P) = m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1)+ m3(x3 - x2) + m4(x4 - x3) =

Suma inferior de la función f para la partición P. I( f, P ) P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. I( f, P ) = y = f(x) x = a x = b OX a = x0 xn = b Para esta partición la suma inferior es...

SUMA INFERIOR para la partición P. I(f, P) Generalizando lo dicho en el ejemplo anterior se tiene Suma inferior de la función f para la partición P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. I( f, P ) I( f, P ) = y = f(x) x = a x = b OX a = x0 xn = b El error por defecto entre las sumas inferiores y el área que queremos calcular es el trozo negro de la figura(lo que falta para el valor del área)

Suma superior de la función f para la partición P. S(f, P) Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P = {a = x0, x1, x2, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b M2 M3 M1 M4 OX a = x0 x1 x2 x3 x4 = b En el intervalo [x0 , x1] se tiene M1 = max{f(xi) | xi  [x0 , x1] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x1 – x0, y de altura M1. En el intervalo [x1 , x2] se tiene M2 = max{f(xi) | xi  [x1 , x2] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x2 – x1, y de altura M2. En el intervalo [x2 , x3] se tiene m+M3 = max{f(xi) | xi  [x2 , x3] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x3 – x2, y de altura M3. En el intervalo [x3 , x4] se tiene M4 = max{f(xi) | xi  [x3 , x4] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x4 – x3, y de altura M4. S(f, P) = M1(x1 - x0) + M2(x2 - x1)+ M3(x3 - x2) + M4(x4 - x3) =

Suma superior de la función f para la partición P. S(f, P) Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P = {a = x0, x1, x2, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b M2 M3 M1 M4 OX a = x0 x1 x2 x3 x4 = b En el intervalo [x3 , x4] se tiene M4 = max{f(xi) | xi  [x3 , x4] } En el intervalo [x0 , x1] se tiene M1 = max{f(xi) | xi  [x0 , x1] } En el intervalo [x1 , x2] se tiene M2 = max{f(xi) | xi  [x1 , x2] } En el intervalo [x2 , x3] se tiene M3 = max{f(xi) | xi  [x2 , x3] } Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x1 – x0, y de altura M1. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x2 – x1, y de altura M2. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x3 – x2, y de altura M3. Y se tiene el rectángulo de base la amplitud del intervalo, x4 – x3, y de altura M4. S(f, P) = M1(x1 - x0) + M2(x2 - x1)+ M3(x3 - x2) + M4(x4 - x3) =

Suma superior de la función f para la partición P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. S( f, P ) y = f(x) x = a x = b OX xn = b a = x0 Para esta partición la suma superior es...

Suma superior de la función f para la partición P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. S( f, P ) y = f(x) x = a x = b OX a = x0 xn = b El error por exceso de las sumas superiores respecto del área que queremos calcular es el trozo rojo de la figura(lo que excede del valor del área)

SUMA SUPERIOR para la partición P. S(f, P) Generalizando lo visto en el ejemplo anterior se define Suma superior de la función f para la partición P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. S( f, P ) S( f, P ) y = f(x) Y x = a x = b X xn = b a = x0 El error por exceso de las sumas superiores respecto delárea quequeremos calcular es el trozo rojo de la figura(lo que excede del valor del área)

Es evidente que para cualquier partición P se verifica que I(f, P )  S(f, P ) Pues en cada intervalo mi Mi y = f(x) x = a x = b a = x0 x1 x2 x3 x4 = b

Una partición P ´ es mas fina que una partición P si todo elemento de P está en P ´(P  P ´ ). y = f(x) x = a x = b a = x0 x1 x2 u x3 x4 = b P = {x0, x1, x2, x3, x4,..., xn-1, xn }. P ´ = {x0, x1, x2, u, x3, x4,..., xn-1, xn }. P  P ´

Una partición P ´ es mas fina que una partición P si todo elemento de P está en P ´(P  P ´ ). Lema 1: Si P  P ´  I(f, P )  I(f, P ´ ). Demostración: Lo vemos para el caso particular P ´ = { x0, x1, x2, u, x3, x4 }. y = f(x) x = a x = b a = x0 x1 x2 u x3 x4 = b Aumenta I(f, P )

Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P ´ = {a = x0, x1, x2, u, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b OX a = x0 x1 x2 u x3 x4 = b Si aumenta un punto la partición, entonces… I(f, P ´) = = I(f, P ) + + Aumenta I(f, P )

Lema 2: Si P  P ´  S(f, P )  S(f, P ´ ). Demostración: Lo vemos para el caso particular P ´ = { x0, x1 , x2, u, x3, x4 }. y = f(x) x = a x = b a = x0 x1 x2 u x3 x4 = b Disminuye S(f, P )

Para fijar ideas gráficamente nos quedamos con la partición P = {a = x0, x1, x2, x3, x4 = b} y = f(x) x = a x = b OX a = x0 x1 x2 u x3 x4 = b Si aumenta un punto la partición, entonces… S(f, P ´) = = S(f, P ) - - Disminuye I(f, P )

Sucesión creciente de particiones para las sumas inferiores Vemos que sucede si la sucesión de particiones va aumentando indefinidamente de puntos y = f(x) x = a x = b OX xn = b a = x0 Se ve que la sucesión de las sumas inferiores se van aproximando al área que queremos calcular.

Sucesión creciente de particiones para las sumas inferiores Vemos que sucede si la sucesión de particiones va aumentando indefinidamente de puntos y = f(x) x = a x = b OX xn = b a = x0 Se ve que la sucesión de las sumas inferiores se van aproximando al área que queremos calcular.

Sucesión creciente de particiones para las sumas superiores Vemos que sucede si la sucesión de particiones va aumentando indefinidamente de puntos y = f(x) x = a x = b OX a = x0 xn = b Se ve que la sucesión de las sumas superiores se van aproximando al área que queremos calcular.

(Las sumas inferiores están superpuestas a las sumas superiores) Teorema: Sea f una función acotada en [a, b]. La función f es integrable sobre [a, b] si y solo si para todo  > 0 existe una partición P del intervalo [a, b] tal que S(f, P )  I(f, P ) < . Demostración: Sirva como demostración el siguiente gráfico, en el que podemos observar como si las particiones son cada vez mayores (con mas número de puntos) la diferencia entre la suma superior y la suma inferior es cada vez mas próxima a cero. x = a y = f(x) x = b OX xn = b x = a (Las sumas inferiores están superpuestas a las sumas superiores) S(f, P ) - I(f, P ) =

(Las sumas inferiores están superpuestas a las sumas superiores) Teorema: Sea f una función acotada en [a, b]. La función f es integrable sobre [a, b] si y solo si para todo  > 0 existe una partición P del intervalo [a, b] tal que S(f, P )  I(f, P ) < . Demostración: Sirva como demostración el siguiente gráfico, en el que podemos observar como si las particiones son cada vez mayores (con mas número de puntos) la diferencia entre la suma superior y la suma inferior es cada vez mas próxima a cero. y = f(x) x = a x = b OX xn = b x = a (Las sumas inferiores están superpuestas a las sumas superiores) S(f, P ) - I(f, P ) =

Teorema: (sin demostración) Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]

Propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando y al intervalo de integración: y = f(x) b f(x)dx a c f(x)dx a b f(x)dx c a c b

Teorema de los valores intermedios: Si f es continua en [a., b] y f(a) < k < f(b), entonces existe un punto c  ]a, b[ tal que f(c) = k Teorema de la media. Sea f es continua en [a, b] , entonces existe un punto c  ]a, b[ tal que f(c)(b  a) = Está claro que m(b  a)  I(f, P ) y que S(f, P )  M(b  a) para toda partición P . Como = sup{ I(f, P) } = inf{ S(f, P)}, entonces m   M m(b  a)   M(b  a) , dividiendo por b -a Gráficamente la demostración sería y = f(x) M(b  a) M m(b  a) m a b

Se define la función área Que gráficamente representa y = f(t) a x b

Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es continua en [a, b] y , entonces F´(x) = f(x) Demostración: El numerador de este límite, gráficamente, se calcula en la siguiente diapositiva

y = f(x) x a x + h b = +

Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es continua en [a, b] y , entonces F´(x) = f(x). Demostración: Gráficamente esto es f(t) h f(x) x + h X h a b El área de este “rectángulo” es f(x)·h (altura·base).

Como hemos visto, f(t) h→0 h h h x + h h x + h h h h h h x + h h x + h f(x) OX X h→0 h h h x + h h x + h h h h h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h X+h a b El numerador de esta derivada es el área rayada en azul de la figura y cuando h → 0, ocurre... que el numerador queda reducido prácticamente, en el límite, al área de un rectángulo que tiene de base x + h – x = h y altura f(x) ( la ordenada de la función f en el punto de abscisa x) El área de este “rectángulo” es f(x)·h (altura·base). En la derivada al dividir este valor por h nos queda f(x). Queda entonces que la derivada de la función área que delimita una curva f(x) es la propia función f(x).

Como ya hemos visto el área del recinto rayado es = cuando h → 0, entonces sucede… f(t) f(x) OX X h→0 h h h h h h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h x + h h X+h a b El área de este “rectángulo” es … , y entonces queda

Regla de Barrow. Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x), entonces Demostración: F(x) = y G(x) son primitivas de f(x), y esto quiere decir que esta dos funciones se diferencian en una constante, es decir Sustituyendo en esta función a y b, queda: F(a) = , luego k = - G(a)