Ing. Antonio Crivillero Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero

Menú Principal Principal Salir Particiones. Definición: Integral Definida. Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ). Teorema (Condición Suficiente para la existencia de ). Propiedades Básicas de la Integral Definida Definición: Media Teorema (Primer Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral). Teorema (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral). Teorema (Regla de Barrow). Definición: Integral Indefinida. Aplicaciones Geométricas de la Integral Salir

Particiones Principal

Principal Suma Inferior: Suma Superior: y y M M m m x x a b a b

Propiedades: Principal 1 2 Si Q es posterior a P 3

Principal Definición: Integral Definida Sea acotada, diremos que f es integrable sobre [a,b] si y sólo si En este caso se denota y se dice que este número es la integral definida de f sobre [a,b].

Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ) Principal Si f está acotada sobre [a,b], entonces f es integrable sobre ese intervalo si y sólo si para todo existe una partición P de [a,b] tal que: Demostración: Supongamos que para cada tal que . Entonces De donde se sigue que , y f es integrable sobre [a,b].

Principal P/ ínfimos y P/ supremos Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ) Principal Recíprocamente, supongamos que f es integrable sobre [a,b]. Entonces Por lo tanto es el supremo del conjunto y el ínfimo del conjunto . Por la definición de ínfimo y supremo, para cada existen particiones tales que P/ ínfimos y P/ supremos

Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ) Principal Sumando estas desigualdades, obtenemos Sea , entonces P es un refinamiento tanto de P1 como de P2. Por lo tanto,

Teorema (Condición suficiente para existencia de ) Principal Si es continua, entonces f es integrable sobre [a,b]. Demostración: La continuidad f continua sobre [a,b] implica que f es uniformemente continua sobre [a,b], y f acotada sobre [a,b], por lo tanto f tiene un máximo y mínimo sobre cada intervalo de [a,b]. Para cada partición P de [a,b] existen tales que y .

Principal Teorema (Condición suficiente para existencia de ) Tenemos entonces La continuidad uniforme de f sobre [a,b] implica que para cada tal que si y se tiene Por lo tanto implica Por el teorema (Condición necesaria y suficiente para la existencia de ) entonces, se sigue que f es integrable.-

Principal Propiedades Básicas de la Integral Definida A continuación enunciamos una serie de propiedades básicas de la integral definida. Si f y g son integrables en [a,b], entonces f + g es integrable en [a,b] y Si f y g son integrables en [a,b], y f(x) ≤ g(x) para todo Entonces

Principal Propiedades Básicas de la Integral Definida Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y Si f es integrable en el intervalo J y si con a<b entonces Si f es integrable en [a,b] y c una constante, entonces cf es integrable en [a,b] y

Principal Definición de Media Dado un conjunto de n números , la media o promedio aritmético de ellos está dado por La integral definida nos permite extender este concepto a los valores de una función sobre un intervalo.

Principal Definición de Media Definición: Si f es integrable en un intervalo [a,b], la media de f sobre [a,b] se define como Esta media tiene la siguiente interpretación geométrica: si Es el área bajo la gráfica de la función f, como

Principal Definición de Media Esto quiere decir que es la altura de un rectángulo con base b-a cuya área es El Teorema siguiente establece un resultado relacionado con la media de una función continua.

Principal m M Teorema (Valor Medio del Cálculo Integral) Sea continua. Entonces existe un número tal que . Demostración: Como f es continua existen tales que para todo . Integrando entre a y b tenemos que m M y dividiendo por (b - a)

Principal m M y M f(c) m a c b x Teorema (Valor Medio del Cálculo Integral) Principal m M Ahora por el teorema de los valores intermedios, existe un valor c entre x1 y x2 tal que Lo que demuestra el teorema anterior. y M f(c) m a c b x

Principal Teorema (Teorema fundamental del Cálculo Integral) Sea continua y sea definida por . Entonces G es derivable en (a,b) y Para todo Demostración: Sea y tal que . Queremos ver que por un lado

Principal a b h Teorema (Teorema fundamental del Cálculo Integral) Usando esto último tenemos que a b h Y aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral del último límite podemos escribir Donde está entre y , y como f es continua y Cuando tenemos

Principal Teorema (Primer teorema fundamental del Cálculo Integral) Esto es, lo que completa la demostración.

Principal Teorema (Regla de Barrow) F’(x)=f(x) Sea f continua en un intervalo [a,b]. Si F es derivable en [a,b] y si para todo , entonces Demostración: Como F es primitiva de f, entonces F’(x)=f(x) Sea G función integral Por el primer Teorema fundamental G’=f sobre [a,b]. Por lo tanto G’=F’ sobre [a,b], lo que indica que G y F difieren en una constante, esto es,

Teorema (Regla de Barrow) Principal Como , de donde , por lo tanto

Principal Definición: Integral Indefinida Si F es una función primitiva de f, se llama integral indefinida de f a la expresión: donde, f es la función integrando, es el elemento de integración y es el símbolo integral. Como la expresión no determina un único resultado, da lugar a dos distintas interpretaciones: es una primitiva arbitraria de f. es el conjunto formado por todas las primitivas de f.

Aplicaciones Geométricas de la Integral Principal Longitud de una curva y L x a b Área entre dos curvas y A x a b

Aplicaciones Geométricas de la Integral Principal Área de sup. de revolución y x a b Volumen de sólidos de revolución Área de un círculo de radio r y x -r r