Tema 5: Interpolación Indice Introducción. Polinomio de interpolación de Lagrange. Términos y cotas de error. Polinomio de interpolación de Newton. Interpolación polinomial a trozos.

Introducción Dados N+1 ptos. de una curva, y=f(x), (x0,y0),…,(xN,yN), siendo, ax0 …..  xN  b, el polinomio de interpolación es un polinomio P(x) de grado menor o igual que N, que pase exactamente por los N+1 ptos. (nodos). Siendo c(a,b), f(c)P (c) : Interpolación. Si c(a,b) : Extrapolación. El polinomio de interpolación es único.

Polinomio de Lagrange Desventajas: Nº de operaciones y Añadir un nuevo nodo

Término y cota de error Sea f(x) CN+1[a,b] , y x0, x1,..xN [a,b] . Si x [a,b] , f(x) = PN(x) + RN(x), El error se puede estimar si se tiene una idea de los valores de fn+1)(x). El término : (x-x0)(x-x1)…..(x-xN) será menor en el punto en el que se interpola, si dicho punto está centrado entre los nodos. Hacer gráficas con mathematica del producto del término de error.

Diferencias divididas

Tabla de diferencias divididas y propiedades La diferencia dividida de cualquier orden es independiente del orden en que se tomen los nodos. La diferencia dividida de orden K se calcula recursivamente a partir de dos diferencias divididas de orden K–1.

Polinomio de interpolación de Newton Para evitar la desventaja del polinomio de Lagrange, el polinomio de interpolación de Newton trata de calcular el polinomio de forma recursiva, es decir, el de grado 2 a partir del de grado 1,..y el de grado N a partir del de grado N-1. La diferencia dividida de orden K es el coeficiente de xk en Pk(x).

Relación entre la diferencia dividida y la derivada. Término de error Sean f  Cn[a,b] y x0, x1, ..., xn n+1 puntos distintos en [a,b]. Entonces x  (a,b) tal que: f [x0, x1, ..., xn] = f n)(x) / n! Hacer la demostración en la pizarra Si no se conoce f, pero se tiene la tabla de diferencias divididas se puede estimar el error mediante la diferencia dividida de orden n+1, esto es : f [x0, x1, ..., xn,z]   f  [x0, x1, ..., xn,xn+1] (Regla del término siguiente)

Interpolación polinomial a trozos(1). Consiste en ir definiendo polinomios de grado bajo que interpolan a la función en dos nodos consecutivos. Así, Sk(x) es el polinomio que interpola a f en dos nodos consecutivos (xk,yk) y (xk+1,yk+1). El conjunto de funciones S(x) = {Sk(x)} forma la curva polinomial a trozos o spline. Los más utilizados son los cúbicos ya que con ellos se puede conseguir la continuidad de S(x) y de su primera y segunda derivada en todos los nodos.

Interpolación polinomial a trozos(2).