METODOS DE INTERPOLACIÓN.

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1 METODOS DE INTERPOLACIÓN

2 Introducción: en una serie de n puntos x0, x1, …, xn .
Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que cumpla: f(x )≈ p(x). en una serie de n puntos x0, x1, …, xn .

3 * Método de Lagrange * Método de Newton
Dos casos típicos: 1) Los datos x0, x1, … , xn , se han obtenido experimentalmente. 2) Una función complicada f(x) la aproximamos a un polinomio. En ambos casos hallamos el polinomio de interpolación p(x) . Métodos de hallar el polinomio de interpolación p(x): * Método de Lagrange * Método de Newton

4 G1. Polinomio de interpolación de Lagrange
Sea una función f(x), de tal manera que conozcamos su valor en cada uno de n+1 puntos: f(x0), f(x1), …, f(xn). 1º. Obtenemos los “multiplicadores o coeficientes de Lagrange”): Son n+1 coeficientes: con k=0, 1, 2, …, n . i = 0, 1, 2, …, n k = 0, 1, 2, …, n

5 Ejemplo: Supongamos como soporte los seis puntos siguientes,
Propiedad de los coeficientes Lk(x): El coeficiente Lk(x) se anula en cada punto xi, excepto en el xk que tiene el valor 1 (valor máximo). Ejemplo: Supongamos como soporte los seis puntos siguientes, x0 = 1, x1 = 3, x2 = 4, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9.

6 El polinomio de interpolación deLagrange se obtiene:

7 f(x0) = 7.3890, f(x1) = 12.1825, f(x2) = 20.0855, f(x3) = 54.5980
EJEMPLO: Sea la función f(x)=ex. Supongamos conocido el valor que toma esta función en los cuatro puntos: x0=2, x1=2.5, x2=3, x3=4, es decir: f(x0) = , f(x1) = , f(x2) = , f(x3) = Hallemos el polinomio de interpolación de Lagrange:

8 El polinomio de interpolación de Lagrange es:
p(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x) p(x) = x3 – x x –

9 La fórmula de interpolación de Newton viene dada por:
G2. Polinomio de interpolación de Newton. La fórmula de interpolación de Newton viene dada por: Siendo las llamadas diferencias divididas de f para los x0, x1, …, xn . En el caso de 4 puntos

10 Algunos ejemplos: * *

11 El polinomio de interpolación de Newton:

12 Ejemplo: Vamos a obtener el polinomio de interpolación para la función f(x) = ex, en los puntos {2, 2.5, 3, 4}, pero en esta ocasión por el método de Newton. p(x) = (x – 2) (x – 2) (x – 2.5) + (x – 2) (x – 2.5) (x – 3) p(x) = x3 – x x –

13 (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xi, yi) , … , (xn, yn) .
G2. Método de los Mínimos Cuadrados (Cuadratura Gaussiana) Supongamos que al realizar una serie de mediciones de dos variables (x, y) , se ha obtenido una distribución de pares de valores o puntos: (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xi, yi) , … , (xn, yn) . y = axm + bxm-1+ …+ c El método de los mínimos cuadrados busca una curva, como se indica en la gráfica, de tal manera que se minimice la suma de los cuadrados de los errores, ei , cometidos al sustituir los puntos por la ordenada y(xi).

14 Matemáticamente equivale a un problema de hallar un mínimo para una función de m+1 variables:
f(a, b, …, c) EJEMPLO: Apliquemos el método para el caso de un polinomio de grado 2 (función polinómica), es decir, mediante una parábola: y = ax2 + bx+ c Si observamos la figura anterior, tenemos: ei = axi2 + bxi+ c – yi → ei2 = (axi2 + bxi+ c – yi )2 . Por tanto la suma de los cuadrados de los errores es:

15 Condiciones de mínimo:
Se trata, pues, de minimizar esta función de tres variables, f(a, b, c). Las condiciones de extremo se dan allí donde se anulan las derivadas primeras de f (x): Condiciones de mínimo:

16 Ejemplo: Hay que hallar un polinomio de interpolación (de grado 2)
para la tabla de datos: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 . y1 = 3, y2 = 4, y3 = 6 . Solución: O sea, Soluc.: a = 5, b= -18.5, c = 18 Polinomio de intepolación: p(x) = 5 x2 – 18.5 x + 18

17 Spline (“Special Line”) cúbica
Si como polinomio interpolatorio tomamos un polinomio de grado 3: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, recibe el nombre de “Spline”.

18 Interpolación de datos 1-D con MATLAB.
Sean conocidos una tabla de datos: x = [1, 1.2, 1.3, 1.5, …] y = [4.254, 3.097, 5.671, …] >> yi = interp1(x, y, xi, método); >> plot(x, y, 'o', xi, yi); Métodos - ‘nearest’ - ‘linear’ (por defecto) - ‘spline’ Cubic spline interpola. - ‘cubic’

19 Ejemplo 1: >> x = 0:10; >> y = exp(x);
>> xi = 0:0.2:10; >> yi = interp1(x, y, xi); >> plot(x, y, 'o‘ , xi, yi);

20 Ejemplo 2: Hay que interpolar mediante ‘spline’ los datos de la tabla siguiente: x y >> tab = [ ; ] >> x = tab(1, :); y = tab(2, :); >> xi = 2:0.25:4.5; >> yi = interp1(x, y, xi, 'spline'); >> plot(x, y, 'o', xi, yi)

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22 >> interp1(t, p, 1975) ans = 214.8585 Ejemplo 3:
Tenemos dos vectores con los censos (por decadas) en el siglo XX, en millones de personas: >> t = 1900:10:1990; >> p = [ ]; Por interpolación podemos estimar la población en cualquier año: >> t = 1900:10:1990; >> p = [ ]; >> interp1(t, p, 1975) ans =

23 Podemos representar la población anual:
]; >> x = 1900:1:2000; >> y = interp1(t, p, x, 'spline'); plot(t,p,'o',x,y)

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