DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRANTES DEL EQUIPO: Omar Edrei Castillo Medina Jezrael Alejandro Vázquez Puente Fernando Piña López Víctor Hugo.

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2 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRANTES DEL EQUIPO: Omar Edrei Castillo Medina Jezrael Alejandro Vázquez Puente Fernando Piña López Víctor Hugo Villicaña Duarte Jairo Yaed Suarez Bueno Edgar Baltazar Loera Ortiz

3 DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Nos encontramos:

4 DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Dividimos el dominio en N segmentos La longitud de cada segmento es h Q(x) nos queda evaluada en N+1 puntos x 0 = 0x1x1 x2x2 x3x3 x N-2 x N-1 x N = L xx xx xx xx xx

5 DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Aproximando Φ(x) mediante una expansión de Taylor:

6 xxNxN x N-h Φ(x N -h) (dΦ(x N )/dx) Φ(x N ) Φ(x N -h) x N+h

7 DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Restamos ambas ecuaciones, y despejamos Φ´(x N ) con lo que obtenemos: Con un h suficientemente pequeña, podemos despreciar la sumatoria

8 DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Finalmente obtenemos:

9 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS 1. Interpolamos en el intervalo de interés 2. Calculamos la derivada del polinomio interpolante

10 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS Ejemplo: tenemos x 0,x 1,x 2 y sus correspondientes f 0,f 1,f 2

11 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS Construimos el polinomio de Lagrange:

12 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS Construimos el polinomio de Lagrange:

13 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS Derivamos el polinomio de Lagrange:

14 DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS Derivamos el polinomio de Lagrange:... y ya podemos evaluar la derivada!!!

15 DIFERENCIACIÓN: PROBLEMAS? ¿Qué sucede si h no es suficientemente pequeño? ¿Y los errores numéricos para cuando elegimos un h muy pequeño?

16 INTEGRACIÓN E:\Compu_II\01_Material_de_Catedra\01_Temas\10_Calculo_Numeri co\01_Teoria\Libro_Calculo_Numerico\CAP5.pdf

17 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: TRAPEZOIDAL Tenemos que hallar el area debajo la curva f(x) Utilizamos un polinomio de 1er orden (Lagrange) Sea x 0 = a y x 1 = b, entonces

18 NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL Aproximamos f(x) como: La integral estará dada por:

19 NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL Resolviendo: Generalizando:

20 NEWTON-COTES: SIMPSON Ahora el polinomio interpolador es de segundo orden:

21 NEWTON-COTES: SIMPSON Recordamos la integración por intervalos y resolvemos:

22 NEWTON-COTES: SIMPSON Reacomodamos y simplificamos:

23 INTEGRACIÓN: MÁS PUNTOS? Al evaluar más puntos de la función en el intervalo dado, podemos obtener mayor exactitud Pero los polinomios de alto orden nos traen problemas numéricos...

24 REGLAS COMPUESTAS: SIMPSON Interpolar f(x) en cada intervalo [x k, x k+3 ] El resultado es:

25 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS Las integrales anteriores se resuelven sobre intervalos equiespaciados y la función es “pesada” con ciertos coeficientes, que son elejidos a conveniencia. La idea de la Cuadratura Gaussiana es darnos la libertad de elegir no solo los coeficientes de peso, sino que también la localización de las abscisas en la que vamos a evaluar la función

26 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS Estamos buscando los w i coeficientes de la siguiente ecuación:

27 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS Necesitamos resolver las cuatro incógnitas. Pero: