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Interpolación por Splines
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Función Spline Ajusta una curva suave a los puntos
Sigue la idea de la spline flexible de un dibujante Consiste de polinomios definidos sobre subintervalos Los polinomios se unen entre sí satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad
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Aplicación: spline natural
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Grados de una spline
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Spline lineal Pendiente discontinua en los puntos
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Polinomios de más alto grado
F es chata (excepto entre -1 y 1) Se requieren ceros fuera de [-1,1] Así se crean las oscilaciones SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios
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Ajuste mixto Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]
P(x)=0 fuera de esa región Discontinuidad en las pendientes donde se unen los polinomios
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Definición
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Splines cúbicas
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Balance de Ecuaciones Condiciones de interpolación
Para los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones Para los extremos: 2 ecuaciones Condiciones de continuidad 2(n-1) ecuaciones Condiciones de extremo (terminales) Spline cúbica natural ó Spline enclavada ó Spline periódica 2 ecuaciones
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Condiciones de Interpolación
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Condiciones de Continuidad
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Condiciones de Extremo: Spline Cúbica Natural
Derivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constante => función lineal en los extremos La curva se “achata” cerca de los extremos
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Condiciones de Extremo: Spline Enclavada (clamped)
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Aplicación: splines enclavadas
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Condiciones de Extremo: Spline Periódica
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Ventaja: evita el fenómeno de Runge
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Algoritmo de splines cúbicas
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Ecuaciones
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Condiciones
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Solución
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Simplificación del desarrollo
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Coeficientes
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Sustituyendo …
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Invocando iguales pendientes …
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Ecuación general
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En forma matricial:
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Condiciones para Extremos
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La matriz de coeficientes queda así:
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Condiciones para extremos
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La matriz de coeficientes queda así:
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Observaciones Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbica Matrices simétricas Datos igualmente espaciados, las matrices se reducen a formas simples
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Lectura obligatoria Gerald págs
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