MÉTODO DE LA REGLA FALSA APROXIMACION DE RAÍCES Norma Jacqueline Herrera Domínguez Alexander Reyes Merino

 Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de a a b en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(a) y f(b). Por ejemplo, si f(a) está mucho más cercana a cero que f(b), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de a que de b. Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(a) y f(b) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa un mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición.

Descripción Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a,b] con f(a) y f(b) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak,bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f. A partir de un intervalo [a, b] se calcula un punto interior ck: Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante). Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos; [ck, bk] en caso contrario.

Algoritmo Para seguir el algoritmo debemos conocer:  La función. (f(x))  El intervalo [a,b]. (a,b)  La tolerancia. (tol)  El número de iteraciones máximas que puede hacer el algoritmo (num) Conociendo dichos datos se aplica el algoritmo siguiente: 1.- Para i=1 hasta No. Hacer 2.- c=(f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a) 3.- si (b-a)<tol salir (tomar como raíz c) 4.- a) Si f(a)f(c) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga b = c y vuelva al paso 2. b) Si f(a)*f(c) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga a =c y vuelva al paso 2. c) Si f(a)*f(c) = 0, la raíz es igual a c; Salir.

Gráficamente

Sea f(x)=x^3+4x^2-10=0 Pa=1.2 Pb=1.6 nabf(a)f(b)f(b)af(a)bc=f(b)a-f(a)b/(f(b)-f(a))f(c )10^