Tema III: Solución de ecuaciones no lineales

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1 Tema III: Solución de ecuaciones no lineales
Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución Sucesiva Hallar raíces de funciones f(x)=0.

2 ¿Qué buscan estos métodos?
Hallar raíces de funciones, f(x)=0 Caso particular: Funciónes polinómicas Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a Segundo Grado: ax2 + bx + c -> dos raíces Tercer Grado: ax3 + bx2 + cx + d -> tres raíces Hallar raíces de funciones f(x)=0.

3 Método de Bisección Definición: Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Consiste en partir de un intervalo  [x0,x1] tal que  f(x0)f(x1) < 0 . A partir de este punto se va reduciendo el intervalo, hasta que sea menor al error (Tolerancia). Cambio de Signo de f(x) Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación X f(X) X1 Xo f(X) f(X) Xo Xo X X X1 X1

4 Método de Bisección Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1 Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

5 X0 m X1 Método de Bisección No: Sigo Si: Fin Si X0=m No X1=m

6 Método de Bisección 1.5 No 0.75 1.125 0.5 0.813 0.312 0.969 0.156 1.047 0.078 Si Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

7 Método de Bisección Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1 Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

8 Método de Bisección -2 2 No -1 1 -0.5 0.5 -0.75 0.25 -0.875 0.125
2 No -1 1 -0.5 0.5 -0.75 0.25 -0.875 0.125 0.0625 Si Se dice que el método convergió

9 Método de Bisección Ventajas del Método Desventajas del Método
Algoritmo muy sencillo Muy estable (Está garantizada su convergencia) Desventajas del Método De muy lenta convergencia

10 Método de Newton Definición: Partiendo de un punto x0, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0) Raíz

11 Método de Newton Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la siguiente función partiendo de x0 = 3 con un error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1

12 Método de Newton 3 8 14 2.429 0.571 No 2.102 6.984 2.128 0.3 0.4516 4.073 2.017 0.11 0.0522 3.137 0.0166 Si Se dice que el método convergió

13 Método de Newton Se dice que el método convergió Zoom

14 Método de Newton Ventajas del Método Desventajas del Método
Convergencia muy rápida Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia) La función debe ser derivable y contínua Se requiere conocer la primera derivada de la función

15 Método de Newton Inestabilidad del Método de Newton X0 X1 X2 (A) (B)
Recomendaciones en este caso, recordar utilizar como puntos semilla o de inicialización X0 puntos muy cerca de la raíz que se busca. A : No se alcanza la convergencia B : Converge pero fuera de la raíz

16 Método de la Secante Definición: Partiendo de dos puntos [x0,f(x0)] y [x1,f(x1)]. El método de la secante utiliza una aproximación de la pendiente mediante la expresión: Uno de los problemas principales del método de Newton es que necesitamos conocer la primera derivada de la función, en cambio el método de la secante.. Raíz

17 Método de la Secante Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz de la siguiente ecuación partiendo de X0 = 0 y X1 = 3/2 con error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1

18 Ejemplo: 1.5 2 -0.625 1.143 0.357 No 0.8843 0.259 0.243 1.0086 0.2432 Si Se dice que el método convergió En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación (35). En la figura (8) se representa geométricamente este método. En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.

19 Método de la Secante Ventajas del Método Desventajas del Método
Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida como El Método de Newton -No requiere conocer la derivada de la función Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia) Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

20 Método Regula Falsi (Falsa Posición)
Definición: Es un método similar al de bisección, con la diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma como nuevo valor, la intersección con el eje x de una línea recta formada por los dos puntos del intervalo. f(X) x2 X2 Xo X1 X

21 Método Regula Falsi (Falsa Posición)
Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1 Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

22 Método Regula Falsi (Falsa Posición)
1.5 2 -0.625 1.143 No -0.263 1.01 -0.02 1 Si Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

23 Método Regula Falsi (Falsa Posición)
Ventajas del Método Convergencia intermedia, más rápido que el método de bisección, aunque no tan rápida como el Método de Newton o de la Secante. -Muy estable Desventajas del Método Como converge a partir de un sólo extremo del intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la raíz, la convergencia sería mucho más lenta. Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación

24 Método de Sustitución Sucesiva
Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x1 a partir de x0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo valor x1, hasta que |x1 – x0|<Error. Por ejemplo: Raíz, ya que g(x) = x

25 Método de Sustitución Sucesiva
Condiciones para Aplicación del Método: Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para todo x Є I, se debe cumplir que g(x) Є I La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b]. La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b]. Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para todo x Є I, | g’(x) | ≤ K < 1

26 Método de Sustitución Sucesiva
Zoom 2 2,1622 -4,1622

27 Método de Sustitución Sucesiva
g(x) Pertenece a [1,4] ? Raíz Intervalo [1,4]

28 Método de Sustitución Sucesiva
Raíz Raíz Raíz

29 Método de Sustitución Sucesiva
Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo de x0 = 3/2 con un error 3/2 Raíces: x=1, x=2, x=-1

30 Método de Sustitución Sucesiva
2 1 X=1.5

31 Ejemplo: 1.5 1.5874 0.0874 No 1.666 0.0786 1.7344 1.8754 0.0372 0.0292 1.9274 1.9449 0.0175 1.958 1.9686 0.0106 1.9763 0.0077 Si Se dice que el método convergió En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación (35). En la figura (8) se representa geométricamente este método. En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.

32 Método de la Sustitución Sucesiva
Ventajas del Método -Convergencia rápida (dependiendo de la g(x)) -No requiere conocer la derivada de la función Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia) Depende de una escogencia adecuada de la g(x) Este es un caso típico, tenemos una serie de valore que determina por ejemplo la trayectoria de un planeta.. Se supone que la función es desconocida, y solo se tienen estos valore. Que pasa si deseamos conocer la posición de ese planeta en algún punto intermedio. Bueno esto habría que hacerlo hallando un polinomio de interpolación