EJEMPLO: TRACE LA GRÁFICA DE f SIENDO x - 1 f(x) = x 2 – x - 6 ACONDICIONAMIENTO: ES CONVENIENTE FACTORIZAR EL DENOMINADOR PARA ENCONTRAR SUS RAÍCES f(x)

Presentación del tema: "EJEMPLO: TRACE LA GRÁFICA DE f SIENDO x - 1 f(x) = x 2 – x - 6 ACONDICIONAMIENTO: ES CONVENIENTE FACTORIZAR EL DENOMINADOR PARA ENCONTRAR SUS RAÍCES f(x)"— Transcripción de la presentación:

1 EJEMPLO: TRACE LA GRÁFICA DE f SIENDO x - 1 f(x) = x 2 – x - 6 ACONDICIONAMIENTO: ES CONVENIENTE FACTORIZAR EL DENOMINADOR PARA ENCONTRAR SUS RAÍCES f(x) = (x + 2) (x – 3) x - 1 Obtendremos la gráfica siguiendo los pasos indicados.

2 PASO 1: OBTENER LAS RAÍCES DEL NUMERADOR. x – 1 = 0 Despejando x, obtenemos que la raíz está en x = 1 Representamos el punto (1,0) en la gráfica, como se muestra en la figura 1.1 y x Fig. 1.1

3 PASO 2: OBTENER LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR. x + 2 = 0 x – 3 = 0 Despejando x, obtenemos que la raíz está en x = -2 Despejando x, obtenemos que la raíz está en x = 3 Entonces las rectas x = -2 y x = 3 son asíntotas verticales que representamos con líneas punteadas como se ve en la figura 1.2 x y Fig. 1.2 -2 3

4 PASO 3: ENCONTRAR EL SIGNO DE f(x) EN LOS INTERVALOS QUE DETERMINAN LAS RAÍCES DE g(x) y h(x) (- , -2), (-2, 1), (1, 3), (3,  ) IntervaloPrueba de signoSigno de f(x)Posición de la Gráfica (- , -2) f(-3) = -2/3 - Debajo del eje x (-2, 1)f(0) = 1/6+Encima del eje x (1, 3)f(2) = -1/4-Debajo del eje x (3,  ) f(4) = 1/2+Encima del eje x

5 PASO 4: DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE f(x) CERCA DE CADA ASÍNTOTA VERTICAL. (a) Considerando la asíntota vertical x = -2, observamos que la gráfica se encuentra por debajo del eje x en el intervalo (- , -2), entonces f(x) -  cuando x -2 -. Como la gráfica se encuentra por encima del eje x en el intervalo (-2, 1), entonces f(x)  cuando x -2 +. Trazamos porciones de la gráfica a cada lado de la recta x = -2. Fig. 1.3 y x Fig. 1.3 -2 3

6 (b) Considérese la asíntota vertical x = 3. La gráfica se encuentra por debajo del eje x en el intervalo (1, 3), por consiguiente, f(x) -  cuando x 3 -. La gráfica está por encima del eje x en el intervalo (3,  ). Tenemos f(x)  cuando x 3 +. Igual que en el caso anterior, trazamos porciones de la gráfica a cada lado de la recta x = 3. Fig. 1.4 y x Fig. 1.4 -2 3

7 PASO 5: DETERMINAR LA FORMA EN LA QUE LA GRÁFICA CORTA AL eje x. La cuarta columna del paso 3, indica que la gráfica cruza el eje x en (1,0) como se muestra en la figura 1.5 y x Fig. 1.5 -2 3

8 PASO 6: DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE f(x) CUANDO x  ó x -  Para determinar lo que ocurre cuando x  ó x - , dividimos el numerador y el denominador de f(x) por x 2 y obtenemos (1/x) – (1/ x 2 ) f(x) = 1 – (1/x ) – (6/ x 2 ) Cuando x es numéricamente grande, las expresiones que están entre paréntesis se acercan a 0 y por lo tanto, 0 – 0 f(x)  1 – 0 – 0 = 0 Esto indica que f(x) 0 cuando x  y f(x) 0, cuando x -  Se deduce que, la recta y=0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la gráfica.

9 Usando la información de los pasos 4, 5 y 6, así como la representación de algunos puntos, obtenemos la gráfica de la fig. 1.6 PASO 7: TRAZAMOS LA GRÁFICA y x Fig. 1.6 -2 3

10 Se puede generalizar el método que se utilizó en el paso 6. Para estudiar el comportamiento de cuando x  o cuando x - , si el grado de g(x) no es mayor que el grado de h(x), se divide numerador y denominador por x k, donde k es el grado de h(x). Se puede demostrar que cuando el grado de g(x) es mayor que el grado de h(x), f(x) crece o decrece sin límite cuando x  o x -  g(x) f(x) = h(x)