Raíces de ecuaciones No Lineales Lucia Lucio Cesar Vázquez Sánchez.

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1 Raíces de ecuaciones No Lineales Lucia Lucio Cesar Vázquez Sánchez

2  El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso.  Sin embargo, la forma funcional de f (x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada.  El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.  Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante.

3 No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima). Necesita dos puntos iníciales. Puede no converger.

4  Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.  Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

5  Esta ultima formula tiene la forma de la ecuación de la pendiente de una que pasa por 2 puntos.

6  Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

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8  La sucesión queda expresada en términos generales como:

9  Seleccionar dos puntos iniciales x 0,x 1  Calcular la recta que pasa por esos puntos  El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto estimado. Volver a calcular la recta.  Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

10  En el siguiente ejemplo calcularemos las raíces de la siguiente ecuación usando el método de la secante y los siguientes puntos de inicio:

11  Iteración 1 (P0=1, P1=.9):  Iteración 2 (P1=0.9, P2=0.4557507564):  Iteración 3 (P2=0.4557507564, P3=0.3207305333): Ver Video

12  Calcular las siguientes 2 iteraciones  Puede comprobar sus resultados con los siguientes:  P5= 0.2552935134  P6= 0.2548531742

13  Entradas: Aproximación inicial de x 0 y x 1 Tolerancia T Máximo número de iteraciones N   Salidas: Un valor aproximado de la raíz o un mensaje de error  Paso1: Asigne i = 1 q 0 = f(x 0 ) q 1 = f(x 1 )  Paso2: Mientras i <= N haga Pasos 3-6  Paso3: Encuentre x = x 1 - q 1* (x 1 -x 0 ) / (q 1 -q 0 )   Paso4: Si |x - x 1 | < T Entonces OUTPUT(x); STOP.  Paso5: Asigne i = i+1  Paso6: Asigne x 0 = x 1 y x 1 = x q 0 = q 1 y q 1 = f(x)  Paso7: OUTPUT("Método falló luego de N 0 iteraciones"). STOP

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15 Ecuaciones algebraicas no lineales La primera iteración da el mismo resultado, luego cada uno obtiene un nuevo punto estimado diferente