Puntos, rectas y planos en el espacio Espacio afín

Puntos, rectas y planos en el espacio Espacio afín
Vectores en el espacio Espacio afín Ecuaciones de la recta Ecuaciones del plano Posiciones relativas de rectas y planos Haz de rectas y planos Posiciones relativas de rectas y planos con esfera

Vectores en el espacio Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento orientado de origen el punto A y de extremo B El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. La dirección de un vector es la recta que lo contiene. El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado VECTOR LIBRE. El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V3 Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).

SUMA GRÁFICAS DE VECTORES
VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD. Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD. El VECTOR SUMA será el VECTOR AE. A E D B C O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del PARALELOGRAMO). F A E D B C Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).

VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES
El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB A C B D El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma de los VECTORES AB y – CD. Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).

PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.
El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB. E B A VECTOR AE = 5. AB = 5.u Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos vectores. Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u1, u2 y u3, puesto que: - 2 u1 + 3 u2 + u3 = u Un conjunto de vectores, u1, u2 , … , un, linealmente independientes, si la única combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k1. u1 + k2 . u2 + … + kn . un = 0 implica que k1 = k2 = … = k n = 0. En otro caso decimos que son dependientes Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).

BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.
Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w . Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres vectores no coplanarias, ni nulos. Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }

Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { u1, u2 y u3 } tiene de coordenadas: (-2,3,1)
Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).

OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.
Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y norma 1). Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q respectivamente, es decir: p = (a ,b, c) y q = (d, e, f ) Si r es un número real entonces: p + q = ( a + d , b + e, c + g ) p - q = ( a - d , b - e, c – g ) r. p = ( r.a , r.b, r.c ) r. q = ( r.d , r.e, r.f ) HAZ DOBLE CLIC VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)

Espacio Afín

ESPACIO AFÍN.

SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.
Coordenadas del Punto P Coordenadas del Vector OP Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO. Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c) Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ. Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá: PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) ) VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)

SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.

COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.

Rectas en el espacio Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v) =(x,y,z) Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3) La ecuación vectorial de r es La ecuación paramétrica de r es La ecuación continua de r es La ecuación general de r es

ECUACIONES DE LA RECTA.

Rectas en el espacio Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + .(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5) y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta (-5,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0)  =0 (1,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0)   no existe Luego A si es un punto de la recta y B no lo es. Ejemplo.- Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2) será

Rectas en el espacio Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0) están alineados Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es = Y Los puntos A, B y C no están alineados Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1) Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación es

El plano Una plano  en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) , denominados vectores directores del plano  = (A, u, v ) =(x,y,z) Si u = AB, v =AC, el plano  = (A,AB,AC) viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3), B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)

El plano La ecuación vectorial de  es
Las ecuaciones paramétrica de  son La ecuación general de  es

ECUACIONES DEL PLANO.

El plano Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+,-,5+) con   ℝ. Hallar la ecuación general del plano que contiene a ambos. Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son coplanarios Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ

ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.

DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

PUNTOS COPLANARIOS.

Posiciones relativas de dos rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) +  . (u1,u2,u3) s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) +  . (v1,v2,v3);  ℝ en el espacio pueden ser: COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes) COPLANARIAS SECANTES NO COPLANARIAS (se cruzan)

Posiciones relativas de dos rectas
Si las rectas r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) +  . (u1,u2,u3) s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) +  . (v1,v2,v3);   ℝ tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces, dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r y Ps de la recta s, y se cumplirá Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas Como u y v no son proporcionales, tomando PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10) Los vectores no son coplanarios, y por tanto se cruzan

Posiciones relativas de dos rectas.
Dadas dos rectas r y s, determinada por la intersección de planos, es decir  : A x + B y + C z + D = 0 ’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 r : s : ’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 ’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ = 0 Denominando Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4 NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado: RECTAS COINCIDENTES Incompatible: RECTAS PARALELAS RECTAS SECANTES LAS RECTAS SE CRUZAN Rango (M) = 1 Rango (M) = 2 Rango (M) = 3 Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la siguiente tabla Rango (M) = 4

Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas Como se cumple Las rectas r y s son coincidentes.

Posiciones relativas de recta y plano
Dada un plano  y una recta r : A x + B y + C z = D A’ x + B’ y + C’ z = D’ r : A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’ Pueden ser SECANTES PARALELOS LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

Posiciones relativas de una recta y un plano
Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta  : A x + B y + C z + D = 0 r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible indeterminado; RECTA CONTENIDA EN EL PLANO Incompatible: RECTA PARALELA AL PLANO Sistema compatible determinado: RECTA Y PLANO INCIDENTES Rango (M) = 1 Rango (M) = 2 Rango (M) = 3

Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano r : 3 x + 2 y – 7 z – 6 = 0 : x + y – z – 4 = 0  : 3 x – y + z – 8 = 0 Como se cumple El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes. Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)

Posiciones relativas de una recta y un plano.
Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo. Es decir, sea la recta y el plano Se sustituye Si de la ecuación, se obtiene un valor , son incidentes y el punto de intersección se obtiene sustituyendo el valor  en las ecuaciones paramétricas de la recta. Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son paralelas. si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0.  =0), la recta está contenida en el plano

Posiciones relativas de una recta y un plano.
Ejemplo.- Sea la recta y el plano. Sustituyendo Luego la recta y el plano son paralelos

Posición relativa de una recta y un plano

Posiciones relativas de dos planos
 : A x + B y + C z + D = 0 ’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.

Posiciones relativas de dos planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos  : A x + B y + C z + D = 0 ’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Sistema compatible indeterminado: PLANOS COINCIDENTES Sistema incompatible: PLANOS PARALELOS NO SE PUEDE CUMPLIR Sistema compatible determinado: PLANOS SECANTES (se cortan en una recta) Rango (M) = 1 Rango (M) = 2

Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos  : 3 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 ’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0 Como se cumple Los planos son paralelos

Posiciones relativas de tres planos
 : A x + B y + C z + D = 0 ’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 ’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 en el espacio pueden ser: Los tres PARALELOS (o coincidentes) Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos rectas paralelas) COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas) COINCIDENTES en una recta. COINCIDENTES en un punto

Posiciones relativas de tres planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos  : A x + B y + C z + D = 0 ’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 ’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Sistema compatible indeterminado: PLANOS COINCIDENTES Incompatible: PLANOS PARALELOS DISTINTOS ó PLANOS PARALELOS CON DOS COINCIDENTES NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible indeterminado; PLANOS COINCIDENTES EN UNA RECTA PANOS SECANTES DOS A DOS ó DOS PARALELOS Y EL TERCERO SECANTE Sistema compatible determinado: PLANOS SECANTES EN UN PUNTO Rango (M) = 1 Rango (M) = 2 Rango (M) = 3

Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos  : x + y + z = 2 ’ : 3 x + 2 y – z = 2 ’’ : 4 x + 3 y = 2 Como se cumple El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se deduce que se cortan en forma prismática.

Haz de rectas en el plano

EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.

Radiación de tres rectas

Haz de planos

Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera

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