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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

2 ÍNDICE. 1. Introducción 2. Sistemas de ecuaciones lineales 1.Ecuación lineal 2.Sistema de ecuaciones lineales 3.Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes 3. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1.Método de Gauss 2.Método de Gauss-Jordan 3.Discusión de sistemas SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

3 Introducción a sistemas de ecuaciones lineales A pesar de que en los papiros egipcios que se conservan algunos problemas de ecuaciones lineales simples, y en las civilizaciones babilónica, griega o india se tiene constancia resolvían sencillos sistemas de ecuaciones lineales, el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales fue iniciado por Leibnitz ( ), y la solución de ecuaciones lineales utilizando determinantes fue utilizado por MacLaurin ( ). Con aportaciones teóricas de matemáticos como Cramer, Bezout o DAlembert. Para ver más visitar los enlaces:

4 Ecuación lineal Se denomina ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2, …, x n a toda expresión del tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n = b a 1, a 2, …, a n son los coeficientes y b el término independiente. Además dichos coeficientes son números reales. Si b = 0, decimos que la ecuación es homogénea. Decimos que los números reales s 1, s 2, …, s n es una solución de la ecuación si al sustituir s 1, s 2, …, s n por x 1, x 2, …, x n se cumple la igualdad. Una ecuación lineal puede no tener soluciones, tener una solución, o tener varias o infinitas soluciones. Ejemplo Una solución de la ecuación lineal x + 2.y – z + 3 t = 0Es x = 3, y = 2, z = 4, t = - 1

5 Ecuación lineal Dos ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Ejemplo Las ecuaciones lineales 3 x – 2 y = 4 6 x – 4 y = 8 Son equivalentes, ya que tiene el mismo conjunto de soluciones

6 Sistemas de ecuaciones lineales Un SISTEMA de ECUACIONES es un conjunto de ecuaciones lineales con posibles soluciones en un cuerpo (si no se especifica, consideraremos el cuerpo de los números reales el cuerpo). Ejemplo Un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales es x + y+ z = 6 x – y + z = 2 x – y – z = - 4 Además, x =1, y = 2 y z = 3 es solución del sistema

7 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se define como a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2n x n = b 2 ………………………………………………. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + … + a mn x n = b m El sistema es homogéneo cuando todas las ecuaciones lineales son homogéneas. Decimos que los números reales s 1, s 2, …, s n es una solución del sistema, si son soluciones de todas las ecuaciones. Cuando el sistema no tiene solución decimos que es incompatible. Si tiene solución es compatible (determinado si tiene solución única e indeterminado si tiene mas soluciones). Todo sistemas homogéneo admiten como solución x 1 = 0, x 2 = 0 …., X n = 0

8 Sistema de ecuaciones lineales Ejemplos 1.- El sistema de ecuaciones lineales 3 x – 2 y + 4 z = 3 5 x – 3 y + z = x + 4 y – z = - 2 Es un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, compatible determinado de solución x = -1, y = 1 y z = Dados los sistemas de ecuaciones siguientes en el cuerpo real: (1) x + y = 1;(2) x + y = 1;(3) x + y = 0. x - y = 1; 2x + 2y = 2; x + y = 2. El sistema (1) es compatible determinado de solución (1,0). El sistema (2) es compatible indeterminado de solución (r,1 - r); r R. El sistema (3) es incompatible.

9 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Ejemplo Los sistemas de ecuaciones lineales 3 x – 2 y = - 13 x – y = 1 2 x + y = 4 x – y = - 1 Son equivalentes dado que x = 1 e y = 2, es solución de los dos sistemas. Mediante transformaciones podemos convertir un sistema de ecuaciones lineales en otro sistema equivalente (habitualmente para su resolución), para lo cual utilizamos los siguientes criterios

10 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales equivalentes Dado un sistema de ecuaciones si se cambia el orden de sus ecuaciones, el nuevo sistema obtenido es equivalente Ejemplo.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 3 x – 2 y + 3 z = 2(1) 2 x – 5 y + z = - 1(2) 4 x + 2 y – 10 z = - 6(3) Si cambiamos la ecuación (1) a la posición de la (3), la (2) a la posición de la (1) y la (3) a la posición de (2), obtenemos el sistema de ecuaciones equivalente 2 x – 5 y + z = - 1(2) 4 x + 2 y – 10 z = - 6(3) 3 x – 2 y + 3 z = 2(1)

11 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales equivalentes Dado un sistema de ecuaciones si se multiplica una o varias de sus ecuaciones por un número real distinto de cero, el nuevo sistema obtenido es equivalente Ejemplo.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 3 x – 2 y + 3 z = 2(1) 2 x – 5 y + z = - 1(2) 4 x + 2 y – 10 z = - 6(3) Si multiplicamos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 5, obtenemos el sistema de ecuaciones equivalente 6 x – 4 y + 6 z = 4 10 x – 25 y + 5 z = x + 2 y – 10 z = - 6

12 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales equivalentes Dado un sistema de ecuaciones si se sustituye una de sus ecuaciones por la suma de esta y una combinación lineal de varias ecuaciones (suma de ecuaciones multiplicadas por números reales distintos de cero), el nuevo sistema obtenido es equivalente Ejemplo.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 3 x – 2 y + 3 z = 2(1) 2 x – 5 y + z = - 1(2) 4 x + 2 y – 10 z = - 6(3) Si a la ecuación (1) le sumamos la ecuación (2) multiplicada por 2 y le sumamos la (3), obtenemos el sistema de ecuaciones equivalente 11 x – 10 y – 5 z = x – 5 y + z = x + 2 y – 10 z = - 6

13 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales equivalentes Una ecuación lineal se dice que es linealmente dependiente de otras si puede expresarse como suma de estas ecuaciones multiplicada convenientemente por números reales distintos de cero. Ejemplo.- La ecuación lineal 3 x – 3 z = 4(a) Depende lineal mente de las ecuaciones x + y – 2 z = 1(1) x – 2 y + z = 2(2) La primera ecuación (a) se obtiene al sumar la ecuación (1) multiplicado por 2 y la (3) (es decir (a) = 2.(1) + (2))

14 Resolución de Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar el conjunto de soluciones. A pesar de que tanto el tratamiento de sistemas de ecuaciones, como su resolución se puede efectuar utilizando matrices y determinantes (como veremos en temas posteriores), se analizarán los métodos de reducción de sistemas, obteniendo sistemas más sencillos para su resolución. En concreto analizaremos los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan

15 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss El método de Gauss, consiste en reducir (aplicando los criterios de equivalencia) el sistema de ecuaciones lineales

16 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss En el sistema escalonado (o triangulado si n = m).

17 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss Se resuelve la última ecuación del nuevo sistema equivalente, y las soluciones se sustituyen en la penúltima ecuación. Se resuelve esta penúltima ecuación, y las soluciones se sustituyen en la antepenúltima ecuación, y así sucesivamente, hasta obtener el conjunto de soluciones

18 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss. y + 2 z = 4 x – y – 3 z = - 5 x – 2 y = 6 Cambiando el orden de las ecuaciones, obtenemos x – 2 y = 6 y + 2 z = 4 x – y – 3 z = - 5 Restando a la tercera ecuación la primera, obtenemos x – 2 y = 6 y + 2 z = 4 y – 3 z = - 11 Restando a la tercera ecuación la segunda, obtenemos x – 2 y = 6 y + 2 z = z = - 15 Con lo que se obtiene z = 3, y = - 2, x = 2. El sistema es compatible determinado.

19 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss. x + y + z = 2 2 x – y – z = x + 2 y + 2 z = 7 Restando a la segunda ecuación la primera por 2 y sumando a la tercera la primera por 4, se obtiene, obtenemos x + y + z = y - 3 z = y + 6 z = 15 Sumando a la tercera ecuación la segunda por 2, obtenemos x + y + z = y - z = = 13 El sistema es incompatible, y por tanto no tiene solución.

20 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss. x + 2 y + 3 z = 1 x + 3 y – z = 4 x + 3 y + z = 2 x + 2 y + 4 z = 0 Restando la primera ecuación a cada una de las demás, obtenemos x + 2 y + 3 z = 1 y – 4 z = 3 y - 2 z = 1 z = -1 Restando la segunda ecuación a la tercera, obtenemos x + 2 y + 3 z = 1 y – 4 z = 3 2 z = - 2 z = - 1 Restando la tercera ecuación dividida entre dos a la cuarta, obtenemos x + 2 y + 3 z = 1 y – 4 z = 3 2 z = = 0 Como la última ecuación es trivial se puede eliminar y se obtiene la solución el sistema compatible determinado de solución z = - 1, y = - 1, x = 6..

21 Resolución de Sistemas lineales por el método de GaussSistemas linealesmétodo de Gauss Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss. x - y + z = 1 x + y – z = 1 Restando a la segunda ecuación la primera, obtenemos x - y + z = 1 2 y - 2 z = 0 Teniendo en cuenta que el sistema ya no se puede escalonar más, y en la última ecuación tenemos dos incógnitas, resulta ser un sistema compatible indeterminado de infinitas soluciones. Si sustituimos una de las variables (por ejemplo z) por el valor de un parámetro real t (z = t; t R), obtenemos el sistema paramétrico x - y = 1 - t y = t z = t Obteniendo las soluciones x = 1;y = t; z = t. t R

22 Resolución de Sistemas lineales por el método de Gauss-JordanSistemas linealesmétodo de Gauss-Jordan El método de Gauss-jORDAN, consiste en reducir (aplicando los criterios de equivalencia) el sistema de ecuaciones lineales

23 Resolución de Sistemas lineales por el método de Gauss-JordanSistemas linealesmétodo de Gauss-Jordan En el sistema casi diagonalizado (o diagonalizado si n = m).

24 Resolución de Sistemas lineales por el método de Gauss-JordanSistemas linealesmétodo de Gauss-Jordan Cada ecuación del nuevo sistema equivalente se resuelve y se hallan las soluciones del sistema

25 Resolución de Sistemas lineales por el método de Gauss-JordanSistemas linealesmétodo de Gauss-Jordan Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan. x + y + z = 3 x + y - z = 1 x - y - z = -1 A la segunda y tercera fila le restamos la primera y las permutamos x + y + z = y - 2 z = z = -2 La segunda y la tercera fila las multiplicamos por (1/2). Después a la primera fila le sumamos la segunda y a la segunda le restamos la tercera. Finalmente la segunda y la tercera fila la multiplicamos por (-1) y nos queda el sistema x = 1 y = 1 z = 1 Luego, las soluciones son x = y = z = 1. El sistema es compatible determinado.

26 Discusión de Sistemas linealesSistemas lineales SISTEMAS DE ECUACIONES DEPENDIENTES.- Cuando en un sistema de ecuaciones alguna de las ecuaciones depende de otras, al aplicar el método de Gauss nos aparecerá una ecuación trivial que se puede eliminar del sistema. Es decir, en cualquier sistema de ecuaciones en las que una ecuación sea combinación de otras, se puede eliminar del sistema. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES.- Cuando escalonamos el sistema por el método de Gauss. Si queda alguna ecuación del tipo 0 = b, el sistema es INCOMPATIBLE (no tiene solución). En otro caso es COMPATIBLE (DETERMINADO si la última ecuación es de la forma a nn x n = b n e INDETERMINADO si la última ecuación es de la forma a m-r n-r x n-r + a m-r+1 n-r+1 x n-r+1 + … + a m n x n = b m ) SISTEMAS DE ECUACIONES CON GRADOS DE LIBERTAD.- Cuando al reducir un sistema de ecuaciones el número de variables es mayor que el número de ecuaciones, el conjunto de soluciones se puede expresar en función r parámetros. Donde r = número de variables - número de ecuaciones lineales independientes ( m) Y se denominado grado de libertad del sistema de ecuaciones.

27 Discusión de Sistemas linealesSistemas lineales Ejemplo: Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss. x - y + z = 1 x + y – z = 1 Restando a la segunda ecuación la primera, obtenemos x - y + z = 1 2 y - 2 z = 0 Como las dos ecuaciones son linealmente independientes (ninguna se puede poner como combinación de la otra) y resulta ser un sistema compatible indeterminado de infinitas soluciones y de 1 grado de libertad. Si sustituimos una de las variables (por ejemplo z) por el valor de un parámetro real t (z = t; t R), obtenemos el sistema paramétrico x - y = 1 - t y = t z = t Obteniendo las soluciones x = 1;y = t; z = t. t R

28 Discusión de Sistemas linealesSistemas lineales Un sistema homogéneo de n ecuaciones linealmente independientes con n incógnitas tiene como única solución la solución trivial (x 1 = x 2 = x 3 = … = x n = 0 ), ya que es un sistema compatible determinado de solución única. Un sistema homogéneo de grado de libertad mayor que cero tiene infinitas soluciones, además de la trivial. Ejemplos: El siguiente sistema de ecuaciones. x - y + z = 0 x + y – z = 0 Además de la solución trivial tiene infinitas soluciones de la forma x = 0;y = t; z = t. El siguiente sistema de ecuaciones. y + 2 z = 0 x – y – 3 z = 0 x – 2 y = 0 Como es un sistema compatible determinado, tiene como única solución x = y = z = 0

29 Discusión de Sistemas linealesSistemas lineales RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS.- En ocasiones se deben de resolver sistemas de ecuaciones donde algún coeficiente (a i j ) o término independiente ( b j ) viene representado por un parámetro desconocido. Ejemplos: Resolver sistema de ecuaciones. x - y = 3 x + 6 y = 4 3 x + 3 y = a ; siendo a un parámetro real Escalonando el sistema de ecuaciones, obtenemos. x - y = 3 7 y = 1 0 = a - 9 Si a = 9, el sistema es compatible determinado de solución x = 22/7 e y = 1/7 Si a 9, el sistema es incompatible.

30 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En la siguiente diapósitiva

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32 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/m atematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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