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Determinantes Determinantes de segundo orden Determinantes de tercer orden Determinante de orden n Cálculo de Determinantes Cálculo de la matriz inversa.

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Presentación del tema: "Determinantes Determinantes de segundo orden Determinantes de tercer orden Determinante de orden n Cálculo de Determinantes Cálculo de la matriz inversa."— Transcripción de la presentación:

1 Determinantes Determinantes de segundo orden Determinantes de tercer orden Determinante de orden n Cálculo de Determinantes Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes

2 Determinante de segundo orden Sea la matriz de orden 2x2, El DETERMINANTE de A es Ejemplo.-

3 Propiedades de los Determinante de segundo orden 1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir 2.- Si se cambian de orden las filas o columnas el determinante cambia de signo, es decir 3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra

4 Propiedades de los Determinante de segundo orden 4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k, el determinante queda multiplicado por k, es decir

5 Propiedades de los Determinante de segundo orden 5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma

6 Propiedades de los Determinante de segundo orden 6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no varía, es decir

7 Adjunto del elemento a ij del Determinante de tercer orden Dada la matriz de orden 3 x 3, el ADJUNTO del elemento a i j es Ejemplo.-

8 Determinante de tercer orden Dada la matriz de orden 3 x 3, el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o columna cualquier por sus respectivos adjuntos (podemos tomar los elementos de la diagonal principal), por ejemplo Ejemplo.-

9 Regla de Sarrus del Determinante de tercer orden Desarrollando los determinantes de orden dos de A, que aparecen en la definición de Determinante de A, obtenemos la regla de SARRUS Que puede recordarse fácilmente, si se tiene en cuenta que conservan el signo los productos correspondientes a la diagonal principal y a las líneas paralelas a ella por el vértice opuesto, y cambian de signo los productos correspondientes a la diagonal secundaria y a las líneas paralelas a esta por el vértice opuesto

10 Propiedades de los Determinante de tercer orden 1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir 2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo, es decir

11 Propiedades de los Determinante de tercer orden 3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra

12 Propiedades de los Determinante de tercer orden 4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k, el determinante queda multiplicado por k, es decir

13 Propiedades de los Determinante de tercer orden 5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma

14 Propiedades de los Determinante de tercer orden 6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no varía, es decir

15 Adjunto del elemento a ij del Determinante de tercer orden n Dada la matriz de orden n x n, el ADJUNTO del elemento a i j es Ejemplo.-

16 Determinante de orden n Dada la matriz de orden n x n, el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o columna cualquier por sus respectivos adjuntos, por ejemplo, si tomamos la primera fila, será Ejemplo.-

17 Propiedades de los Determinante de tercer orden Generalizando las propiedades de determinantes de orden dos y tres, tenemos: 1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir 2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo 3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra 4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k, el determinante queda multiplicado por k 5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante se puede descomponer como suma de determinantes 6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no varía

18 Cálculo de determinantes de orden dos Basta con al producto de los coeficientes de la diagonal principal y les restemos el producto de los elementos de la diagonal secundaria Ejemplo.-

19 Cálculo de determinantes de orden tres Podemos aplicar la regla de Sarrus Ejemplo.-

20 Cálculo de determinantes de orden tres Para aplicar la Regla de Sarrus podemos añadir las dos primeras filas al determinante y aplicar los productos como se indica a continuación Ejemplo.-

21 Cálculo de determinantes de orden tres Puede también desarrollarse el determinante por una fila o columna (o por su diagonal) utilizando los Adjuntos Ejemplo.-

22 Cálculo de determinantes de orden tres También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila o columna Ejemplo.-

23 Cálculo de determinantes de orden tres O podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para triangular la matriz de la que se busca el determinante. Y el determínante será el producto de los elementos de su diagonal principal Ejemplo.-

24 Cálculo de determinantes de orden n Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su diagonal) utilizando los Adjuntos Ejemplo.-

25 Cálculo de determinantes de orden n También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila o columna Ejemplo.-

26 Cálculo de determinantes de orden n Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su diagonal) utilizando los Adjuntos Ejemplo.-

27 Cálculo de matriz inversa utilizando determinantes Dada una matriz A cuadrada de orden n, si su determinante es distinto de cero, existe la matriz inversa A, tal que A. A = I (matriz identidad) A ij es el adjunto del elemento a ij

28 Cálculo del rango de una matriz utilizando los determinantes Teniendo en cuenta que el rango de una matriz A de orden m x n, es el menor NÚMERO k de filas o columnas linealmente independientes. Utilizando determinantes, es equivalente a hallar el mayor valor k, tal que toda submatriz cuadrada B (resultado de liminar m-k filas y n-k columnas ) de A tiene determinante no nulo. Al determinante |B| se le denomina menor de orden k. Ejemplo.-

29 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( ) En las siguientes diapósitivas

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37 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/m atematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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