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1 Posición Relativa de dos rectas Transversales ParalelasCoincidentes.

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Presentación del tema: "1 Posición Relativa de dos rectas Transversales ParalelasCoincidentes."— Transcripción de la presentación:

1 1 Posición Relativa de dos rectas Transversales ParalelasCoincidentes

2 2 Sistema de Ecuaciones Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal. Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2

3 3 Sistema de Ecuaciones Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución. Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

4 4 Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = -1 L 2 : x – y = 2 El sistema admite una única solución Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

5 5 Ejemplo 1

6 6 Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = – 3 L 2 : – 6x + 3y = – 6 Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente 6x – 3y = – 9 6x – 3y = – 6 Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

7 7 Ejemplo 2

8 8 Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 4x – 8y = -12 L 2 : – x + 2y = 3 Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

9 9 Otra forma: comparar los vectores- dirección También podemos ver la posición relativa de dos rectas comparando sus vectores- dirección.

10 10 Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = -1 L 2 : x – y = 2 Sus vectores normales son n 1 = (2, -1) y n 2 = (1, -1) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u 1 = (1, 2) y u 2 = (1, 1), que obviamente no son paralelos porque sus coordenadas no son proporcionales. Entonces las rectas se cortan.

11 11 Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = – 3 L 2 : – 6x + 3y = – 6 Sus vectores normales son n 1 = (2, -1) y n 2 = (-6, 3) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u 1 = (1, 2) y u 2 = (3, 6), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

12 12 Ejemplo 2 Para saber en qué caso estamos podemos hacerlo de dos formas: 1. Tomar un punto de una recta y probar si pertenece a la otra. En caso afirmativo son coincidentes y en caso negativo son paralelas. 2. Observar si las dos ecuaciones, además de sus coeficientes proporcionales, tienen también sus términos independientes proporcionales. En ese caso son coincidentes, en caso contrario paralelas. L 1 : 2x – y = – 3 L 2 : – 6x + 3y = – 6 L 1 y L 2 son paralelas porque

13 13 Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 4x – 8y = -12 L 2 : – x + 2y = 3 Sus vectores normales son n 1 = (4, -8) y n 2 = (-1, 2) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u 1 = (8, 4) y u 2 = (2, 1), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

14 14 Ejemplo 3 En este caso L 1 y L 2 son coincidentes porque


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