UNIDAD II Vectores en ℝ 3.

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1 UNIDAD II Vectores en ℝ 3

2 VECTOR EN R3 módulo de a : p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1
x y a1 a2 a3 vector a = (a1,a2,a3) de R3 módulo de a :

3 Vector Tridimensional Operaciones básicas
Producto de un escalar con un vector Suma de dos vectores Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

4 Vectores en 3 Dimensiones

5

6

7 Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0). Solución

8 Formula de Distancia (1)

9 Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) Solución

10 Formula del Punto Medio
(2)

11 Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) Solución De (2), tenemos

12 Vectores en 3 Dimensiones

13 Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

14 VECTORES UNITARIOS i, j, k
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. x z y i j k

15 PRODUCTO ESCALAR Donde: o

16 OBSERVACIONES: 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 3. a . a = a 2

17 Definiciones en 3 Dimensiones
DEFINICIÓN 1 Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3 (i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3> (ii) ka = <ka1, ka2, ka3> (iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 (iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3> (v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3> (vi) 0 = <0, 0 , 0> (vi) Definiciones en 3 Dimensiones

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19 Ejemplo 4 Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3) Solución

20 Ejemplo 5 De la Definición 7.2, tenemos

21 Los vectores i, j, k i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1> a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

22

23 Ejemplo 6 a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j Ejemplo 7 (a) a = 5i + 3k está en el plano xz (b) Ejemplo 8 Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b Solución 5a − 2b = 13i − 20j + 48k

24 7.3 Producto Escalar Producto Escalar de Dos Vectores
DEFINICIÓN 2 El producto escalar de a y b es el escalar (1) donde  es el ángulo que forman los vectores 0    . Producto Escalar de Dos Vectores

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26 Ejemplo 1 De (1) obtenemos i  i = 1, j  j = 1, k  k = 1 (2)

27 Producto Escalar en Forma de Componentes
(3) (4)

28

29 Ejemplo 2 Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

30 Propiedades (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0 (ii) a  b = b  a (iii) a  (b + c) = a  b + a  c (iv) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b) (v) a  a  0 (vi) a  a = ||a||2

31 Orthogonal Vectors (i) a  b > 0 si y sólo si  es agudo (ii) a  b < 0 si y sólo si  es obtuso (iii) a  b = 0 si y sólo si cos  = 0,  = /2 Observación: Como 0  b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores. Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a  b = 0. TEOREMA 1 Criterio de Vectores Ortogonales

32 Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales
Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales. i  j = j  i = 0, j  k = k  j = 0, k  i = i  k = 0 (5) Ejemplo 4 Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces a  b = –6 – = 0 Son ortogonales.

33 Ángulo que Forman Dos Vectores
(6)

34 Ejemplo 5 Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k. Solución

35 Cosenos Directores Observando la Fig 7.34, los ángulos , ,  se llaman ángulos directores. Ahora por (6) decimos que cos , cos , cos  son cosenos directores, y cos2 + cos2 + cos2 = 1

36 Fig 7.34

37 Ejemplo 6 Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k. Solución

38 Componentes de a en b Como a = a1i + a2j + a3k, entonces (7) Escribimos los componentes de a como (8) Observe la Fig El componente de a en cualquier vector b es compba = ||a|| cos  (9) escribiendo (9) como (10)

39 Fig 7.35

40 Ejemplo 7 Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab. Solución De (10), a  b = −3

41 Interpretación Física
Observe la Fig Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es W = F  d (11)

42 Fig 7.36

43 Ejemplo 8 Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a (4, 6), hallar el trabajo realizado por F. Solución d = 3i + 5j W = F  d = 26 N-m

44 Proyección de a sobre b Observe la Fig La proyección de a sobre i es Observe la Fig La proyección de a sobre b es (12)

45

46

47 Ejemplo 9 Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j. Solución

48

49 es un vector unitario perpendicular al plano de a y b
El producto vectorial de dos vectores a y b es (1) donde  es el ángulo entre ellos, 0    , y n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha. DEFINICIÓN 4 Producto Vectorial de Dos Vectores

50 Producto escalar en términos de componentes.
Se define: En R2, sean: Se define: En R3, sean:

51 PRODUCTO VECTORIAL Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo El producto vectorial se define como un vector que tiene: Magnitud: Dirección: Perpendicular al plano que forman NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3

52 Regla de la mano derecha

53 PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.
Se define al Producto Vectorial como:

54 Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante: OJO Es decir puede desarrollarse como un determinante Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales

55

56 Ejemplo 1 Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las Fig 7.37 y El momento  producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por  = r  F. Fig 7.48

57 Propiedades (i) a  b = 0, if a = 0 or b = 0 (ii) a  b = −b  a (iii) a  (b + c) = (a  b) + (a  c) (iv) (a + b)  c = (a  c) + (b  c) (v) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b) (vi) a  a = 0 (vii) a  (a  b) = 0 (viii) b  (a  b) = 0

58 Definición Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado:

59 Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si si a  b = 0.
TEOREMA 2 Criterio de Vectores Paralelos (a) De propiedades (iv) i  i = 0, j  j = 0, k  k = 0 (2) (b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a  b = 0 Si a = i, b = j, entonces (3) Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i  j = k

60 Ejemplo 2

61 Ejemplo 3 De Fig 7.49, tenemos (4)

62

63 Alternative Definition
Como (5) tenemos (6)

64 También podemos escribir (6) como (7) Por otro lado, (7) se transforma en (8)

65 Ejemplo 4 Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a  b. Solución De (8), tenemos

66 Productos Especiales Tenemos (9) se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio (10)

67 Area y Volumen Area de un paralelograma A = || a  b|| (11) Area de un triángulo A = ½||a  b|| (12) Volumen del paralelepípedo V = |a  (b  c)| (13) Fig 7.50 y Fig 7.51

68 Fig 7.50

69 Fig 7.51

70 Ejemplo 5 Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1). Solución Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, – 1, –2>

71 Vectores Coplanarios a  (b  c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

72 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
Rectas: Ecuación Vectorial Fig Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1) Si escribimos a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2) luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es r = r2 + ta donde a se llama vector director.

73 Fig 7.55

74 Ejemplo 1 Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3). Solución Definimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>. Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta: (3) (4) (5)

75 Ecuación Paramétrica También podemos escribir (2) como (6) las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .

76 Ejemplo 2 Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1. Solución De (3), se tiene x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = t (7) De (5), x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)

77 Ejemplo 3 Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t Solución a = 9i + 5j – 3k

78 Ecuación continua De (6) siendo ai son no nulos. Entonces (9) se dice que es una ecuación continua.

79 Ejemplo 4 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (4, 10, −6) y (7, 9, 2) Solución Definimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego

80 Ejemplo 5 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1) Solución Definimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0, luego

81

82 Ejemplo 6 Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k. Solución Ec. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2) Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:

83 Planos: Ecuación Vectorial
Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es n  (r – r1) = (10)

84 Fig 7.57

85 Ecuaciones Cartesianas
Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene a P1(x1, y1, z1) es a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0 (11)

86 Ejemplo 7 Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j − 5k Solución De (11): 2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0 ó 2x + 8y – 5z + 15 = 0

87 La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,
ecuación (11) también puede escribirse como ax + by + cz + d = 0 (12) La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0, a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal n = ai + bj + ck TEOREMA 3 Plano con Vector Normal

88 Ejemplo 8 Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.

89 Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3, elegimos P1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener (13)

90 Fig 7.58

91 Ejemplo 9 Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1), (3, 1, 4) y (2, −2, 0). Solución Obtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.

92 Ejemplo 9 (2) Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen, entonces <x – 2, y + 2, z – 0>  <−11, −3, 5> = 0

93 Gráficas La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.

94 Ejemplo 10 Gráfica 2x + 3y + 6z = 18 Solución Poniendo: y = z = 0 nos da x = 9 x = z = 0 nos da y = 6 x = y = 0 nos da z = 3 Fig 7.59.

95 Fig 7.59

96 Ejemplo 11 Gráfica 6x + 4y = 12 Solución Esta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3 y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.

97 Fig 7.60

98 Ejemplo 12 Gráfica x + y – z = 0 Solución Priemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.

99 Fig 7.61

100 Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7. 62
Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.

101 Fig 7.62

102 Fig 7.63

103 Ejemplo 13 Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de 2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5 Solución Priemro dejamos que sea z = t, 2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + t luego x = t, y = 9 + 6t, z = t.

104 Ejemplo 14 Determinar el punto de intersección del plano 3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t. Solución Suponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección. 3x0 – 2y0 + z0 = −5 y x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0 entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4 Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)

105 7.6 Espacios Vectoriales n Dimensiones Similar al de 3 dimensiones (1) (2)

106 Espacio Vectorial Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen
DEFINICIÓN 5 Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente. Espacio Vectorial

107 tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 Espacio Vectorial
DEFINICIÓN 5 Axiomas para la suma vectorial (i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V. (ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x (iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z (iv) Existe un único vector 0 de V, tal que x = x + 0 = x (v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 Espacio Vectorial

108 Axiomas para el producto por un escalar
DEFINICIÓN 5 Axiomas para el producto por un escalar (vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V. (vii) k(x + y) = kx + ky (viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x (ix) k1(k2x) = (k1k2)x (x) 1x = x Propiedades (i) y (vi) are called the closure axioms. Espacio Vectorial

109 Ejemplo 1 Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales. Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas. (b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial. Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

110 Ejemplo 2 Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como x + y = xy y producto por un escalar como kx = xk Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.

111 Ejemplo 2 (2) Solución Repasamos los 10 axiomas. (i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0 (ii) Para todo x = x, y = y de V, x + y = x + y = y + x = y + x (iii) Para x = x , y = y, z = z de V x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z (iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x El vector nulo 0 es 1 = 1

112 Ejemplo 2 (3) (v) Si definimos −x = 1/x, entonces x + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0 −x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0 (vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0 (vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky (viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x (ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x (x) 1x = x1 = x = x

113 Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en
DEFINICIÓN 6 Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V. Subespacio

114 Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y
TEOREMA 4 Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V: (i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W. (ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W. Criterios para un Subespacio

115 Ejemplo 3 Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).

116 Ejemplo 4 El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(−, ).

117 Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es
DEFINICIÓN 7 Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0 (3) son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente. Independencia Lineal

118 Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente
Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente. <1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque 3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0> 3a + b – c = 0

119 Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} de
DEFINICIÓN 8 Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} de un Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V. Base de un Espacio Vectorial Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R3. Por ejemplo <1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>

120 Base Estándar: {i, j, k} Para Rn :
Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> ….. en = <0, 0, …, 1> (4) Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que (5) donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.

121 Se dice que el número de vectores de una base B del
DEFINICIÓN 8 Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio. Dimensión de un Espacio Vectorial

122 Ejemplo 5 Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n. Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn} La dimensión es n + 1 La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.

123 ED Lineales La solución general de la siguiente ED (6) puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …, yn} es una base.

124 Ejemplo 6 La solución general de y” + 25y = 0 es y = c1 cos 5x + c2 sen 5x entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.

125 7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process
Base Ortonormal Todos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.

126 Ejemplo 1 El conjunto de vectores (1)
es linealmente independiente en R3. De ahí que B = {w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi  wj = 0, i  j, B es una base ortonormal.

127 Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base
TEOREMA 5 Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u  w1)w1 + (u  w2)w2 + … + (u  wn)wn Coordenadas respecto a una Base Ortonormal Demostración Como B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como u = k1w1 + k2w2 + … + knwn (2) (u  wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn)  wi = ki(wi  wi) = ki

128 Ejemplo 2 Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1. Solución

129 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
La transformación de la base B = {u1, u2} en una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos pasos. Fig (3)

130 Fig 7.64(a)

131

132

133 Ejemplo 3 Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (3) Normalizando: Fig 7.65

134

135 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
Para R3: (4)

136 Observe la Fig 7.66. Suponemos que W2 = Span{v1, v2}, entonces
es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3 sobre W2, denotado por x = proyw2u (5) (6)

137

138 Ejemplo 4 Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (4)

139 Ejemplo 4 (2)

140 Sea B = {u1, u2, …, um}, m  n, una base del subespacio Wm de
TEOREMA 6 Sea B = {u1, u2, …, um}, m  n, una base del subespacio Wm de Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es Proceso de Ortogonalización