Ecuación de la recta Prof. Juan Medina..

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1 Ecuación de la recta Prof. Juan Medina.

2 INDICE 3.-Cálculo de la pendiente de una recta 1.-Objetivos
2.-Explicar el concepto de pendiente. 3.-Cálculo de la pendiente de una recta 5.-Ecuación de la recta , a través de la forma punto pendiente 6.-Pendiente y coeficiente de posición de la recta 7.-Recta horizontal y vertical 8.-Ecuación de la recta , forma general 9.-Ecuación Principal de la Recta principal de la recta 10.-Comportamiento de la recta según valor de la pendiente 11.-Como encontrar la pendiente de una recta a través de su grafica 12.-Posiciones relativas de dos rectas en el plano 13.-Rectas paralelas 14.-Grafica de dos rectas paralelas 15.-Rectas perpendiculares 16.-Grafica de rectas PERPENDICULARES 17.-Rectas coincidentes

3 OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos. CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Objetivos de Aprendizaje 1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta. 2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta. 3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas. 4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano. 5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas. .

4 DEFINICION DE PENDIENTE
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (de un plano cartesiano ), suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

5 Cálculo de la pendiente que pasa por dos puntos de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2). x y P2(x2; y2) y=y2 - y1 P1(x1;y1) x=x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 m =

6 Ecuación de la recta, a través de la forma punto pendiente: y-y1=m (x-x1)
La ecuación de la recta de pendiente m, y un punto de Ella (x1, y1) es: X Y y - y1 = m(x - x1) (x1, y1)

7 Pendiente y coeficiente de posicion de la recta .
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es: Ecuación pendiente ordenada al origen y = m x+b X Y b y = mx + b

8 y = b x = a b a RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL recta recta // ecuación
horizontal al eje X y = b a b y = b x = a recta recta // ecuación vertical al eje Y x = a

9 Ecuación de la recta Forma general Ax + By + C = 0
Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. 1 -1 2 3 4 5  L x y Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores Gráfico X Y (x, y) 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

10 Ecuación Principal de la Recta
Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General 2x – y- 1 = 0 Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y = -2x + 1 / : - 1 Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1 Importante Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

11 Comportamiento de la recta según , valor de la pendiente
x y x y Si m<0 la recta l es decreciente Si m>0 la recta l es creciente m> m<0 Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o x y Toda recta horizontal tiene m = 0 x y

12 ¿Cómo encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?
¿Cómo encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. Por ejemplo: Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación 1 -1 2 3 4 5  L x y donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta. ( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta. Por lo tanto remplazando tenemos: m = = = = -1 Luego la pendiente m = -1

13 Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: Que sean Paralelas b) Que se intercepten c) Que sean Coincidentes 1 -1 2 3 4 5  L x y 1 -1 2 3 4 5  L x y 1 -1 2 3 4 5  L x y

14 Rectas Paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales: Es decir: Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2 x1 x2 y1 y2 L  x2 – x1 y2 – y1  x y L2

15 Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones
Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

16 Rectas Perpendiculares
Rectas Perpendiculares Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares. si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n L2 es una recta de ecuación y= m2x +n L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1 x1 x2 y1 y2 L  x2 – x1 y2 – y1  x y L1

17 GRAFICA DE RECTAS PERPENDICULARES
GRAFICA DE RECTAS PERPENDICULARES Grafiquemos las rectas de ecuaciones y = 4x + 3 y = - ¼ x En el mismo plano cartesiano

18 Rectas Coincidentes Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto. Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2 L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta. x1 x2 y1 y2 L1   x y L2